Etude de fonction ln et exponentielle

[krokos55]

Bonjour à tous. Il me faut résoudre un problème d’étude de fonction et certaines questions me posent problème ! Pourriez-vous m’aider à boucler cet exercice ? SVP


Soient f et g les fonctions définies par f(x) = (ln(x) / ln(x)-1) et g(x) = e^f(x)
1/ Quel est l’ensemble de définition de f ?
>IR+ \ {e} ???
Faire l’étude des limites de f aux bornes de son ensemble de définition


Lim f = 1
+ inf
lim f =1
0+
lim f =+ inf
e+
lim f = - inf
e-
en revanche pourriez vous me montrer la démonstration pour les limites en e SVP ?

2/ Quel est l’ensemble de définition de g ? en déduire les limites de g aux borne de son ensemble de définition ?

Dg = Df non ? par composition
De même on a lim f = 1 donc lim g = e^1 = e non ? Par composition ?

3/ Déterminer les variation de g

f ’(x)= (-1/x)* ( 1/((ln(x)-1)^2))
Donc g ‘ (x) = (-1/x)*( 1/((ln(x)-1)^2))*e^f(x)
Demande confirmation…

Donc les variations de g : sur ]0 ;e [ g décroît sur ]e ;+inf[ g décroît aussi

4/ La restriction de la fonction g à l’intervalle] 0 ; e [est elle majorée ? est elle minorée ? bornée ?
Je dirais majoré mais en fait je ne vois pas la différence entre bornée et majoré, minoré ?
Donc ici je demande le l’aide SVP !

5/ La restriction de la fonction g à l’intervalle] e ; + inf [est elle majorée ? est elle minorée ? bornée ?
Même problème !

6/ La fonction g est elle paire ? Impaire ?
Je sais qu’il faut voir si g(x) = g(-x) ou g(x) = - g(x) mais j’y arrive pas …


7/ La courbe représentative de g admet elle un axe de symétrie ou un centre de symétrie ?
Je dirais un axe mais je n’ai pas de démonstration
Merci de m’aider……………………..

[krokos55]

s'il vous plait c'est super urgent ...ca serait super gentil de votre part de m'aider !!
merci d'avance !

[Sdec25]

Salut
L'ensemble de définition est

en e : lim ln(x) = 1
la fonction ln croissante donc 0 pour x>e

2) c'est correct

3) les fonctions dérivées sont correctes, les variations aussi

4) lim en 0+ de g = e et g est continue et décroissante sur ]0, e[ donc g est majorée sur cet intervalle : g(x)<e
e est la borne supérieure de g car g(x)<e et la limite en 0+ vaut e
En clair g tend vers e sans l'atteindre.
Maintenant la limite en e :
lim g en e- = 0
Conclusion : la fonction est bornée sur cet intervalle.

5) sur l'intervalle ]e, +inf[ g n'est pas bornée car lim f en e+ est +inf, donc lim g en e+ est +inf aussi.
Par contre g est minorée car g est décroissante et la limite de g en +inf est e (borne inférieure)

6) La fonction n'est ni paire ni impaire car elle n'est pas définie sur R-

[nekros]

Salut,



Il faut donc que soit soit

D'autre part, est définie sur donc il manque quelque chose à ton ensemble de définition, c'est privé de .

Pour les limites en e :




De même,

A+

EDIT : Sdec a dégainé plus vite :lol4:

[krokos55]

merci beaucoup ... et en ce qui concerne l'axe ou le centre de symétrie ?

[nekros]

merci beaucoup ... et en ce qui concerne l'axe ou le centre de symétrie ?

La 7 se déduit de la 6.
Que dit ton cours sur le lien entre parité (ou non) d'une fonction et caractéristique du graphe.

A+