étude complète de fonction

par **Anonyme** » 21 Juin 2005, 12:03

Bonjour , j'ai une fonction , et j'ai pas mal de questions dessus , là voici :

f(x) = (x² + 2x - 3) / x²

a) étudier ses variations .

alors je réécris la fontion :

f(x) = 1 + 2/x - 3/x² , je la dérive , f'(x) = -2/x² - 6x/x^4

alors comme je connais aucune règle générale , je suppose que 0 est la valeur interdite , que f'(x) est positive pour tout x inférieur à 0 et négatif pour tout x supérieur à 0 , si vous connaissez une méthode pour ce genre de chose n'hésitez pas à me le dire . Je m'arrête ici pour le moment , pour savoir si j'ai bon .

merci

par **Anonyme** » 21 Juin 2005, 12:26

salut!

Je pense pas qu'il y ait une méthode particulière, mais juste des calcules à faire. Dans un premier temps, calculer la dérivée comme tu as fait (je crois qu'il y a une erreur de signe ds la deuxième fraction et n'oublie pas aussi de simplifier par x !).
Ensuite, il faut étudier le signe de ta dérivée. C'est plus simple si tu la met sous une seule fraction. Sauf erreur de calcule de ma part, ca donne f'(x)=(-2x+6)/(x^3). Tu regardes maintenant le numérateur et le dénominateur séparément. La valeur qui annule le numérateur est 3, et celle qui annule le dénominateur est 0 (ensuite tu en déduis le signe par une inéquation). Après tu fais ton tableau de signes, et tu déduis les variations de la fonction f.
Voilà ! Si j'ai été un peu vite n'hésite pas à poser d'autres questions :-)
++

par **Anonyme** » 21 Juin 2005, 12:43

donc la dérivée ça donne :

-2/x² + 6x/x^4 , en mettant au même dénominateur ça me donne :

(-2x^4 + 6x^3) / x^6 , et là c'est une addition , on peut pas simplifier directement le calcul , faut tout redécortiquer et recalculer , et en général quand on met au même dénominateur c'est pour supprimer le dénominateur , donc je ne te suis pas du tout dans ta simplification de mon écriture...

par **Anonyme** » 21 Juin 2005, 13:43

f'(x)= -2/x² + 6x/x^4 = -2/x² + 6/(x^3) = (6x² - 2x^3)/(x^5)

Quanf on met x² en facteur (au dénominateur et au numérateur, il nous reste (-2x+6)/(x^3), j'vois pas trop où est le pb... Je parlais pas de décomposer la fraction mais de la simplifier, et ici le facteur commun est x²... c'est plus simple pour faire ton étude de signes apres.

par **Anonyme** » 21 Juin 2005, 14:01

ok , mais je comprends pas comment tu passes de ceci (6x² - 2x^3)/(x^5) , à çà :

(-2x+6)/(x^3) , faudrait que tu me détailles ton calcul si tu le veux bien , merci à toi .

par **Anonyme** » 21 Juin 2005, 14:07

Ben tu factorises par x² :

(6x² - 2x^3)/(x^5) = [x²(6-2x)]/[(x²)(x^3)]

Tu simplifies par x² et il te reste (-2x+6)/(x^3) !
C'est tout bete !
++

par **Anonyme** » 21 Juin 2005, 17:21

ok j'ai compris mais depuis quand x² + x³ ça donne x^5 , c'est pas une règle des puissance ceci...

par **julian** » 21 Juin 2005, 18:16

ici ce n'est pas x²+x^3 mais x²*x^3 ;)

par **Anonyme** » 21 Juin 2005, 18:32

parfait , je suis trop tête en l'air , donc le 3 annule le numérateur , ça voudrait dire que la dérivée est nulle pour x = 3 ? faux , en traçant la courbe , ya aucun point où la dérivée est nulle , par contre pour x = 0 ya bien une asymptote verticale , ensuite tu , tu me dis que je peux trouver le signe par inéquation , je vois pas ce que tu veux dire , prendre des valeurs de x et calculer le signe , je pourrai en prendre des millions des valeurs :) , enfin je vais essayer :

-2x + 6 < 0 si x plus grand que 3 donc f'(x) négative? nan je comprends rien ça colle pas au schéma

par **julian** » 21 Juin 2005, 19:36

donnes toutes les questions please pcq 1 question ca fait juste et on y a déja répondu ;)
on verra comme çà si on doit pas procéder autrement

par **Anonyme** » 21 Juin 2005, 19:48

non voilà ce qu'on va faire , je mets 1 seule question , donc celle ci , étudier les variations , pour le reste je me débrouillerai , donc là on a calculé la dérivée , maintenant je dois établir le tableau de variations , mais je ne sais pas comment faire ( voir mon précédent message ) , la dérivée est (6-2x)/x³

par **julian** » 21 Juin 2005, 20:05

moi jtrouve comme variations sur R:
décroissante sur ]-infini;0[U[3;+infini[
et croissante sur ]0;3]
mais bon j'pense que tu l'avais trouvé aussi :o

par **Anonyme** » 21 Juin 2005, 20:11

et bien je regrette de te décevoir , mais en trçant la fonction (x²+2x-3)/x² , tu t'apercevras qu'il y a une asymptote verticale , x=0 , une oblique ( j'ai pas calculé ) , mais que la fonction est TOUJOURS croissante , de -inf à +inf

par **julian** » 21 Juin 2005, 20:32

ac exactitude ma courbe ne correspond en effet pas à mon tableau de variation mais je trouve en la traçant:
asymptote verticale d'équation x=0 comme tu l'as dit
mais aussi une asymptote horizontale d'équation y=1
et elle est décroissante sur ]-infini;0[ et croissante sur ]0;+infini[
enfin elle a l'air constante sur au niveau de ses asymptotes horizontales mais ca peux pas l'affirmer
en tt cas elle n'est pas strictement croissante

par **Anonyme** » 21 Juin 2005, 20:37

oui je m'excuse vraiment je m'étais trompé dans le tracé de ma courbe , désolé :) , bon faut en finir ave cette question : comment fais tu pour dire elle est croissante sur tel ou tel intervalle et décroissante sur tel ou tel intervale , quel calcul précis , c'est çà que j'aimerais qu'on m'explique avec le calcul à l'appui , sinon je crois qu'on va y passer la nuit sur ce truc lol , merci .

par **julian** » 21 Juin 2005, 20:44

malin va ça fait la 2è faute bête! :p
bah écoute dans la logique des choses:
tu trouves (-2x+6)/x^3
donc 3 annule le numérateur et 0 "annule" le dénominateur (mais 0 est une valeur interdite)
donc après tu fais un tableau de variations mais pas de calculs
si tu as des questions sur le tableau de variations poses

par **Anonyme** » 21 Juin 2005, 20:48

ben oui je vais poser alors :) , :

dans la ligne des x , quelles valeurs tu mets ?
dans la ligne f'(x) , comment places tu les + et les - ?

ya forcément des calculs à faire je ne te suis pas , en sachant quelle valeur annule le numérateur et quelle valeur annule le dénominateur ça nous dit pas quand et où la fonction est croissante ou décroissante...

par **julian** » 21 Juin 2005, 20:55

dans ton tableau tu fais une ligne ac les valeurs de x qui sont:
-infini /0 /3 et +infini
dans la ligne d'en dessous tu as la fonction -2x+6
elel sannule en 3 et le ceofficient directeur est <0 donc c est croissante (signe + dans ton tableau) "avant" 3 et décroissante (signe - dans ton tableau) après 3, donc sur [3;+infini[
sur la ligne d'en dessous tu as la fonction cube:tu mets une double-barre à 0 pcq c est le dénominateur et la fonction cube est décroissante sur ]-infni;0] et croissante sur [0;+infini[
donc tu utilises les signes de ton tableau et ca te fait :
signe "-" sur ]-infini;0[<--- ici 0 est exclus car il ya la double-barre
signe + sur ]0;3]
signe - sur [3;+infini[
bon après tu changes :signe "-" ca veut dire décroissante etc...
bon jpense que j avais pas besoin de détailler autant mais comment ça on est d'accord :D

par **julian** » 21 Juin 2005, 20:57

c'est un gros problème ke meme de ne pas savoir maîtriser Latex/Mimetex :p

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