Etude de la chute d'un parachutiste

[Arnaud-29-31]

Voila c'est exactement ça : soit tu choisis le 1er modèle (frottement fluide) qui te donne une équation linéaire que tu peux résoudre et trouver la solution, soit tu choisis le deuxième modèle et tu dira la solution c'est ça, je vais montrer qu'elle vérifie bien l'équation.

Pour l'équation linéaire, avec frottement fluide, on applique une bête seconde loi de Newton et on trouve tout de suite :
comme équation différentielle vérifiée par la vitesse du parachutiste.

Pour que sa vitesse maxi colle à celle que j'ai trouvé en traitant l'exo que tu as proposé (celui avec équation non linéaire et méthode d'Euler), tu pourra prendre le coefficient f = 13,8 pour la chute libre.

Voici les courbes de vitesse : en rouge ce que donne l'exo avec l'équa diff non linéaire et en bleu ce que donne le modèle avec équation linéaire dont je te parle actuellement (le temps (s) en abscisse et la vitesse (m/s) en ordonnée)




Voila, tu peux déjà traiter cette partie, ensuite le parachute s'ouvre, l'équation est toujours de la même forme mais f (le coeff de frottement) change ainsi que les conditions initiales. Dis moi quand tu es arrivé là, je te donnerai un coefficient f cohérent pour cette seconde partie.

[dididu85]

l'équation est de type y" + ay ou y' +ay car entre les deux réponse que vous m'avez donnnée il me semble que le " s'est transformé en ' .

si je prend le cas ou y' +1/m y = g

la solution générale de y' +1/m y = 0 est
y= k exp (1/m *t)

[Arnaud-29-31]

Non rien ne s'est transformé, l'équation vérifié par la vitesse est et celle vérifiée par la position est Les deux sont liées puisque y' = v. Cependant celle que l'on résout est bien la première, ensuite si on veux y, on intègre tout simplement.

Attention, il ne faut pas oublié le f ... et c'est maladroit d'écrire y puisque c'est l'équation vérifiée par la vitesse et non par la position.
Et non, la solution générale de n'est pas ... redérive cette expression et tu verra qu'il manque quelque chose ...

[dididu85]

donc l'équation que je résoud en premier est celle qui vérifie la position

y" + f/m y' = g

mais je ne sais pas le résoudre. je sais résoudre les équations de types

y'- ay = 0
ou
y" + ;)y = 0

or dans celle qui vérifie la position est de forme

y" +ay' =0 et je ne connais pas. y'a t'il une erreur dans les primes ?

[Arnaud-29-31]

Pardon je voulais dire celle que l'on résout est bien la première.
C'est à dire v' + (f/m)v = g. Cela nous donne v et si on veux y, on intègre tout simplement.

[dididu85]

donc on a bien

v' + (f/m) v = g

on résoud d'abord

v' + (f/m) v = 0

on obtient

v = k exp ((-f/m)x)

ensuite il faut trouver une solution particuliére et la rajouter mais je ne vois pas comment faire encore une fois. vraiment désolé

[Arnaud-29-31]

Yessss, c'est ça.
On peux noter cette fonction pour ne pas confondre avec la solution finale qui elle sera notée v.

On a donc

Pour trouver une solution particulière, c'est simple on en cherche une fonction qui vérifie
Comme on ne veux pas se casser la tête, on en cherche une qui soit constante donc sa dérivé est nulle () , le disparaît il ne reste que et donc est notre solution particulière.

On réunit les deux :

[dididu85]

daccord donc la solution générale de l'équation v' + (f/m)v = g est

v = k exp (-f/m . t) + mg/f

il me faut alors remplacer f, m et g et cela e donnera la vitesse du parachutiste lors de sa chute libre.

[Arnaud-29-31]

Il faut d'abord déterminer k avec les conditions initiales.

On ne remplacera pas f, m et g par leurs valeurs car cela ne sert à rien (même pire ca embrouille) de faire du semi-numérique. On utilisera leurs valeurs que lors des applications numériques pour obtenir un résultat numérique. La si je remplace dans mon expression il me reste t donc je n'ai pas de résultat numérique mais toujours quelque chose en fonction de t ...

[dididu85]

comment faire alors pour déterminer k dans ce cas la?

[Arnaud-29-31]

Avec une condition initiale.

Cette condition initiale est ici : à t = 0 la vitesse du parachutiste est nulle.
Donc v(0) = 0.

[dididu85]

v(0) = k exp (f/m . 0) + mg/f
c'est ça?

[Arnaud-29-31]

Exact, et comme exp(0) = 1 ca donne v(0) = k + mg/f

[dididu85]

v(0) = k + mg/f

donc ensuite pour déterminer k il faut remplacer m g et f?
ensuite k sera toujours pareil et ce sera la valeur de t qui changera ?
avec sa je peux donc déterminer la vitesse du parachutiste à un instant t?

[Arnaud-29-31]

Non, encore une fois on ne fait pas de semi-numérique, on ne remplace pas.

v(0) = k + mg/f ca donne k + mg/f = 0 (puisque la condition initiale est v(0) = 0)
Donc k = - mg/f

On remplace ensuite k dans l'expression de v(t) : et en factorisant ca donne

Ce n'est seulement lorsque tu veux faire une application numérique (par exemple calculer la vitesse au bout de 10s (t=10)) que tu remplaceras ...

[dididu85]

daccord par contreje ne vois pas pourquoi le 1 apparait avant le exponentielle.

une fois que j'ai sa je peux alors remplacer dans la formule factorisée pour trouver la vitesse du parachutiste à un instant t?

[Arnaud-29-31]

... donc on factorise par mg/f ... et ca donne bien

Cette forme factorisée est très explicite : on voit directement que la vitesse maxi du parachutiste est puisque en + l'infini, tend vers 0.

[dididu85]

daccord tres bien donc maintenant avec cette forme factorisée il me faut faire une application numérique non? par contre je ne vois pas comment je vais faire pour trouver à quelle instant il doit ouvrir son parachute pour ne pas s'écraser.

[Ericovitchi]

au #38 post il a eu le temps de s'écraser :ptdr: :lol:

[Arnaud-29-31]

Les applications numériques c'est tout à la fin.
Pour trouver quand il doit ouvrir son parachute, tu refais la même chose sauf que au lieu de f = 13.8, tu prend par exemple f = 104.4 (c'est les valeurs qui collent avec ton problème en anglais) qui représente le coeff de frottement une fois le parachute ouvert. Il conviendra de noter f1 et f2 pour pas se mélanger
Si la chute libre est assez longue, tu peux considérer qu'il a atteint la vitesse max mg/f1 (qui sera ta nouvelle condition initiale).
La tu regarde le temps qu'il lui faut pour que le parachute le ralentisse.
Mais il ne faut pas griller les étapes tu dois avant bien faire la première partie.