Etude de la chute d'un parachutiste

[dididu85]

bonjour, je suis en bac pro et je dois préparer un oral de maths. J'ai pris pour sujet l'étude de la chute d'un parachutiste. J'ai trouver un exercice sur internet (en anglais), j'ai compris le sens de l'exercice simplement je n'arrive pas a le résoudre. J'aurais besoin de votre aide pour le résoudre. merci d'avance

exercice à résoudre

[dudumath]

Bon pour faire simple:
le parachutiste descend selon la verticale Oz

*si tu considère tout d'abord que les frottements de l'air sont négligeables(modèle non réaliste)
alors, le parachutiste n'est soumis qu'à son poids:
3eme loi de newton:

ma=mg
qui s'intègre en v=gt+v0 v0=vitesse initiale
qui s'intègre en z=0,5gt²+v0.t+z0 z0=altitude initiale

*si tu considères que les frottements de l'air sont présents, tu as deux cas:
->1er modèle la force de frottements est en : f=-a.v
alors le pfd donne:
ma=mg-av i.e mdv/dt+av=mg

la solution de cette équation est v=mg/a(1-exp(-at/m)) en prenant une vitesse initiale nulle qui donne aussi la position:
z=mg/a(t+m/aexp(-at/m))+(z0-(m/a)²g)

->2nd modèle les forces de frottements sont en f=-av²
alors tu as mdv/dt+av²=mg
et v=a/m.1/x+sqrt(gm/a)

Voila à peu près 3 cas pas trop dur à comprendre, je ne sais pas si ça te conviendra.

A+

[dididu85]

merci de votre rapidité. je vais essayer de comprendre mais pour le moment je nage un peu. Quelles notions mathématiques faut-il utiliser pour résoudre l'exercice alors?

[Anonyme]

intégration, équations.

[dididu85]

daccord, merci de votre aide

[dididu85]

Bonjour,
je viens vous revoir car je suis toujours bloqué sur mon probléme avec ce parachutiste.
J'ai essayé de comprendre ce que vous m'aviez écrit mais j'avoue que j'ai pas compris donc mon prof m'a aider un peu pour retomber sur une équation différentielle qui est : y' +2sqrt(9.8) y = -0.003

j'ai trouvé l'équation générale de y' +2sqrt(9.8) y = 0
k*exp(-2sqrt(9.8t)
mais aprés sa je suis bloqué pour trouver une solution particuliére de cette équation.
merci de votre aide et de vos explications

[Ericovitchi]

une solution particulière ? y= constante (à déterminer)

[dididu85]

Oui dans les exercices en cours il me semble que l'on cherchait d'abord la solution générale puis la solution particuliére. Et ensuite on additionnait les deux ce qui donnait les solution générale de l'équation avec second membre.

[Ericovitchi]

Oui tout à fait, c'est ce qu'il faut faire.

[dididu85]

d'accord mais je n'y arrive pas. J'ai trouver la solution générale de l'équation différentielle sans second membre mais aprés je suis bloqué

[Ericovitchi]

Tu cherches une solution particulière sous la forme y=K
y'=0 donc 2sqrt(9.8) K = -0.003 et donc K = -0.003 /2sqrt(9.8)
et comme tu as dit tu as ta solution générale

[Arnaud-29-31]

y' +2sqrt(9.8) y = -0.003

Bonjour,

Déjà il faut éviter de faire du semi numérique. Il faut garder l'expression littérale des coefficients sinon c'est le foutoir et c'est impossible de vérifier l'homogénéité ...

Ce n'est qu'a part que l'on fera les applications numériques.

[dididu85]

Merci. Ce serais possible d'avoir un dévolopement depuis le début en sachant que
y' +2sqrt(9.8) y = -0.003 car j'ai toujours pas compris. Pourquoi la solution particuliére est une constante? vraiment désolé.

[Ericovitchi]

Une solution particulière, il suffit de la trouver. Il y a juste besoin d'un peu d'intuition.
En regardant l'équation on voit tout de suite que pour une constante la dérivée sera nulle et que ça va marcher. (S'il y avait eu une fonction plus compliquée à droite comme 2x ou 5sin(x) on aurait cherché autre chose, un polynôme pour la première et une fonction trigo pour l'autre)

[Arnaud-29-31]

Tu peux nous donner le modèle que tu as pris (de quel forme tu suppose la force de frottement) et tes valeurs numériques ?

Ce 9.8 (qui je suppose représenter l'accélération de pesanteur) placé sous une racine, je trouve ça bizarre ...

[dididu85]

Le calcul qui m'amméne à ça à été fait par mon prof mais bon je suis bloqué. sinon si l'un d'entre vous peut m'aider à préparer mon oral de math je suis ok. En gros je voudrais pouvoir déterminer à quelle moment le parachutiste doit il ouvrir son parachute pour ne pas se cracher au sol. Savoir sa vitesse au moment de l'ouverture du parachute et pourquoi pas sa distance par rapport au sol.
Tous celà avec des calculs que je puisse comprendre

[Arnaud-29-31]

Pour cela, il nous faut connaître le modèle que tu as pris.
Les coefficient qui entre en jeux ainsi que leurs valeurs numériques.

[dididu85]

Pour trouver cela je suis parti de cet exercice. en fait celui-ci correspond a ce que je veux trouvé si j'ai bien traduit l'énoncé mais je n'arrive pas à le résoudre avec mes connaissances. Soit c'est trop dur soit je ne sais pas comment faire.

voici le lien http://www.emilangues.education.fr/files/par-rubriques/documents/2008/ressources-pedagogiques/Skydiving.pdf

[Arnaud-29-31]

L'équation que tu as proposé plus haut est surement fausse : déjà il y a g sous une racine c'est bizarre dans une équation différentielle linéaire et vu que tu ne sais pas quoi est quoi dedans, il vaut mieux reprendre du début.
A ton oral on te demandera ce que représente chaque coefficient, on te demandera c'est quoi y : en effet on peut trouver l'équation différentielle vérifiée par la position ou celle vérifiée par la vitesse etc ...

Si tu prends un frottement du type alors l'équation différentielle que vérifie la position du parachutiste est du type (toujours pour un axe dirigé vers le bas)

L'exercice dont tu donnes le lien prend un frottement du type F = k.v² (avec f qui vaut l'équation différentielle vérifiée par y est cette fois non linéaire : on ne sait pas la résoudre !
Ton exercice propose donc une méthode d'approximation (ici c'est la méthode d'Euler) qui permet un calcul de proche en proche en proche (on détermine un point et à partir de celui la on détermine le suivant etc ...)
Ton oral prend alors une autre dimension car la il te faut présenter des courbes faites par ordinateur (et oui la méthode d'Euler on demande à un logiciel de le faire pour nous : par exemple Maple)

Voila donc il te faut choisir l'un de ces deux modèles sachant que pour résumer :
-Celui avec un frottement en f.v amène à une équation différentielle linéaire, très facile à résoudre et avec suffisamment de matière pour un oral.
-Celui avec frottement en f.v² te donnera une d'équation différentielle NON-linéaire et il faudra sortir des courbes grâce à une approximation par ordinateur et ca tournera plus à l'oral de programmation maple plutôt que l'oral de math ...

Si tu veux garder le deuxième modèle (celui de ton exo) sans passer par la case approximation par la méthode d'Euler, il existe une solution qui peut-être te conviendra :
Quand on dit que l'équation non linéaire on ne sait pas la résoudre, en réalité il existe des gens (comme moi ^^ -à prendre avec humour-) très forts qui savent en fait la résoudre et qui pourront te donner la solution.
Tu peux donc à ton oral dire "je prends une fonction de telle forme et je vérifie qu'elle est bien solution" si tu vois ce que je veux dire ...

[dididu85]

donc si j'ai bien compris, je n'utilise pas la méthode d'euler. Alors il me reste la premiére solution avec une équation linéaire ou celle plus compliqué ou j'admet une équation. Je veux bien utiliser la premiere solution car se sera certainement plus simple pour moi. Pour cela comment dois-je m'y prendre?
il faut que je résolve l'équation différentielle y"+ 1/m y = g
avec m la masse en kg et g la gravité soit 9.8 ?
et cela me donne quoi ?
merci vraiment