Etablir une inégalité [term S]

par **didinebdx** » 31 Oct 2007, 15:03

Bonjour !
J'ai un petit problème sur l'établissement d'une inégalité. Mon problème ? Je ne sais pas d'où partir pour arriver à l'inégalité à établir... Donc si vous pouvez m'aider...

Voici l'énoncé :
[B]Soit (un) la suite définie sur N* par : u1 = 1 et u(n+1)=1+(1/un)
On sait que pour tout n appartenant à N*, un > ou égale à 1
Soit I l'abscisse du point d'intersection de la courbe représentative C de la fonction f définie par f(un)=u(n+1) et de la droite D d'équation y = x.
Etablir que pour tout n appartenant à N*, |u(n+1) - I| 1
un/ I > 1/ I
(un/ I ) -1 > ( 1/I) -1
(1/I) (un -I) > (1/I) ( 1- I)

Mais je n'arrive pas à montrer que (1/I) ( 1- I)> u(n+1) - I[/I]

Donc si quelqu'un pourrait m'indiquer d'où je pourrai partir... Car la j'ai vraiment aucune idée...
Merci d'avance

par **didinebdx** » 31 Oct 2007, 16:12

s'il vous plait ! Je n'y arrive vraiment pas !

par **hellow3** » 31 Oct 2007, 16:13

Dans ton inégalité, à gauche t'as des un+1 et à droite des un.

Donc tu pars de la gauche et tu remplaces les un par leurs definition pour avoir des un.

Deplus, tu as I, qui est est une valeur particulière. Tu dois surement aussi le remplacer par sa definition.

Procède par égalité, pour avoi une forme le plus près possible de la partie droite de l'inégalité.

P. S. Pour démontrer une inégalité aussi complexe, faut pas partir d'un truc aussi simple que un>1. T'as a peu près autant de chance que de trouver une aiguille dans une botte de foin...

Bon courage...

par **didinebdx** » 31 Oct 2007, 16:27

J'ai essayer de faire comme tu me l'as conseiller mais je n'y arrive pas. Cela n'aboutit à rien (enfin quand j'essai )
Je bloque à u(n+1) -I = (1+un*rac5)/2un
(I = (1+ rac5)/2)
Et de la je ne vois pas quoi faire pour me rapprocher de la partie de droite ! ni même de sa forme develloper !
Pourrais tu, encore m'aider s'il te plait ?

MErci d'avance

par **hellow3** » 31 Oct 2007, 17:20

Tu ne dois pas calculer I. Surtout quer tu t'es trompé.
Par definition, on sait que f(I) = 1 + 1/I (I appartient à f)

un+1 = 1 + 1/un
I=1 + 1/un

|un+1 - I| = ...

par **didinebdx** » 31 Oct 2007, 17:45

ok c'est bon j'ai trouver !
Merci ^^

euh mais... peut etre que j'abuse mais je n'arrive pas à la question suivante...
Pourrais tu m'aider ?

Je dois en déduire par récurrance que pour tout n appartenant à N*,
|u(n+1) - I| < ou égale à (1/I)^n * |u1-I| (avec u1 = 1)
Et la j'arrive même pas à démontrer que la propriété est vraie au 1er rang...
Je ne vois pas du tout comment faire...
Merci d'avance

par **hellow3** » 31 Oct 2007, 18:01

Pour bien saisir un raisonnement par récurence, tu dois savoir quel est ton indice.

Ici, c'est n.
Ton cas de départ est donc de démontrer que pour n=1, |u2 - I| <= (1/I)^1 * |u1 - I|

par **didinebdx** » 31 Oct 2007, 18:03

Oui j'ai calculé avec n=1 mais je trouve |u2 - I| > = (1/I)^1 * |u1 - I| et pas l'inverse... et c'est la que je ne comprends pas

par **hellow3** » 31 Oct 2007, 18:11

Tu t'es trompé dans ton calcul.

Comment tu as fait?

par **didinebdx** » 31 Oct 2007, 18:26

ben j'ai calculer d'une part u2 - I = 2 - ((1+ rac5)/2)= (3 +rac5)/2

et d'autre part (1/I)^1 * |u1 - I| = 2/(1+ rac5) * (1 - (1+ rac5)/2) =
2/(1+ rac5) * (2-1 +rac5) /2 = 1

Peux m'indiquer ou est ce que je me suis tromper ??
Merci d'avance

par **hellow3** » 31 Oct 2007, 18:39

Oublie ton calcul de I. Pµersonne te l'a demandé dans l'énoncé.
A mon avis si tu arrives à une erreur, c'est de la que ça doit venir.

Remplace I par sa définition I = f(I).

par **didinebdx** » 31 Oct 2007, 18:46

mais I et f(I) c'est pas la même chose non ? Alors comment peut on remplacer I par f(I)

par **hellow3** » 31 Oct 2007, 18:48

C'est la définition de I qui appartient à la fois à la courbe de f et à la droite d'équation y=x.

I appartien à la courbe de f, equivalent à I = f(I).

par **didinebdx** » 31 Oct 2007, 19:09

ok donc je remplace I par -I²+I+1 ?
CE qui donne donc d'un coté I²+I+3 et de l'autre -(I²+I+2)/(I²+I+1)
Mais dela, je fais quoi ??
Désolée mais je ne comprends vraiment pas...

par **hellow3** » 31 Oct 2007, 19:21

C'est pas un problème que tu comprennes pas. T'as juste l'air un peu fatigué.

RAPPEL:
f(x)=1+1/x.

Donc I=f(I)= 1+ 1/I

I.e. |u2 - I| = |2- 1 - 1/I| = |1 - 1/I| = | (I-1)/I|

Est-ce que tu arrives à suivre?

par **didinebdx** » 31 Oct 2007, 19:26

Jusqu'ici oui, je fais pareil ac la 2eme partie on trouve (1/I) -1 non ?

par **hellow3** » 31 Oct 2007, 19:31

Oui, donc les deux membres sont égaux.

Etablir une inégalité [term S]

Etablir une inégalité [term S]

Qui est en ligne