Notre professeur nous a donné à faire un exercice sur GEOPLAN (donc en quelque sorte un TP informatique). La solution au problème devait être
1)une solution informatique, la plus précise possible
2)une solution manuelle, exacte
Voici les mesures de la figure:
ABCD est un rectangle, où:
AB=4
BC=2
Et à l'intérieur de ce rectangle, il y a un quadrilatère IJKL. Les points I, J, K, L sont placés tel que:
AI = CK = x
BJ = DL = racine(x).
Je vous dessine la figure! :we:
Donc, le problème est:
Trouver les extremas de l'aire du quadrilatère IJKL lorsque I décrit le segment [AB].
Donc en fait il faut trouver pour quelles valeurs de x les extremas sont atteints.
1) solution informatique: je l'ai déja faite et je sais qu'elle est juste.
Grâce au pilotage clavier du point I, on trouve que le maximum de l'aire de IJKL est égal à 8 et est atteint en deux endroits: x=0 et x=4 car IJKL = ABCD, l'aire est maximale.
Restait à trouver le minimum: Le minimum est compris dans lintervalle x [1,474453 ;1,474699] avec Aire IJKL(min)=3,774781. Cest la solution informatique la plus précise possible sur Geoplan.
2) Ensuite, il faut trouver la solution exacte grâce à une étude de fonction. Pour commencer j'ai exprimé l'aire du quadrilatère IJKL en fonction de x. Méthode: Prendre l'aire de ABCD moins l'aire des 4 petits triangles rectangles.
Ce qui donne:
Aire(IJKL) = 4*2 - [ x(2-racine(x)) + (racine(x))(4-x)]
En développant et réduisant, je trouve:
Aire(IJKL) = 8 - 2x + 2x(racine(x)) -4(racine(x)).
Pour connaître les variations de cette fonction, j'ai calculé sa dérivée:
(j'afficherai directement le résultat car je sais que jusqu'ici tout est juste):
Aire'(IJKL)=
Cherchons le signe de
Racine(x), le dénominateur, sera toujours positif car il n'y a pas de signe (-) devant la racine, et x ne peut être négatif.
Le signe de la dérivée dépendra donc de son numérateur 3x-2(racine(x))-2.
Cherchons le signe du numérateur puisqu'il dépend de x.
Pour cela cherchons les racines de 3x-2(racine(x))-2 afin d'établir un tableau de signes. Comme 3x-2(racine(x))-2 n'est pas un polynome du second degré, il a fallu un peu bidouiller pour lui donner la forme ax²+bx+c:
Ainsi on obtient une forme en ax²+bx+c. En appliquant la méthode du discriminant, je trouve:
Et voilà le tableau de signes et de variations: J'ai un gros problème avec ce tableau, je ne comprends pas pourquoi je trouve que le minimum de la fonction est 3,83 et des poussières alors que je devrais trouver 3,77 environ.
Après j'ai compris que f(x2) (donc l'image du carré de (2+(racine(28))/6, qui est (8+2(racine(7))/9) donnait bien AireIJKL = 3,77 environ. Ce que je ne comprends pas, c'est que (8+2(racine(7))/9) n'est pas une valeur pour laquelle la dérivée s'annule, et que donc elle n'est pas sensée être dans le tableau.
SVP, qu'est ce qui ne va pas?
je vous remercie immensément de votre aide.