Esperance et ecart type

[alexis6]

Bonjour,

J'aimerais savoir pourquoi l'espérance se calcule selon une moyenne arithmétique et l'écart type selon une moyenne quadratique.

Merci

[Ben314]

Salut,
Y'a plein de réponse possibles, mais une réponse très simple (et un peu rudimentaire) pourrait consister à dire que ce qu'on cherche à mesurer pour l'écart type, ben c'est l'écart à la moyenne pour voir si les valeurs sont toutes "tassées" autours de la moyenne ou au contraire très dispersées.
Bon, alors "l'écart" entre deux réels A et B, c'est B-A donc on pourrait se dire qu'on va faire la moyenne des Xi-M où les Xi sont les valeurs et M la moyenne. Sauf que ça sa fait forcément zéro (pourquoi ?)
Si on veut que ça fasse pas zéro, il faudrait calculer la moyenne des écarts absolus à la moyenne, c'est à dire la distance à la moyenne donc en fait la moyenne des |Xi-M| : effectivement ça se calcule et ça s'appelle (comme par hasard) "l'écart moyen".
Le problème, c'est que c'est chiant à calculer vu qu'il faut d'abord avoir calculé la moyenne pour se lancer dans les calculs de l'écart moyen et, surtout que ça n'a pas de "bonnes propriétés" mathématiques à cause de la valeur absolue qui est définie "par cas" donc on n'a que très peu de beau théorèmes mathématiques où cette notion "d'écart moyen" intervient.
Donc au lieu de prendre les valeurs absolu des Xi-M pour les rendre positifs, on prend les carrés (Xi-M)² et on en fait la moyenne (qui s'appelle la Variance et qui a de très bonnes propriétés mathématiques) puis, pour rétablir les unités (si les Xi sont des mètres alors la moyenne aussi et la variance, c'est des mètres carrés) on prend la racine carré de la variance qu'on appelle "écart type".

[alexis6]

Merci c'était très clair! J'ai cherché un peu en vain sur internet et demandé à ma prof de maths mais jusque là je n'avais pas de réponse.