Espace (1èreS)

[hpauline]

bonsoir ,
voici l'énoncé d'un exercice de devoir maison , pouvez vous me mettre sur la bonne voie ?

dans un repère orthonormal :
A (0;4;0) , B(2;0;0) , C(0;1;3) et D(4;5;3)

soient a et b deux réels , I et J deux points tels que : les vecteurs AI=aAB et CJ=bCD

1) trouver a et b tels que (IJ) soit orthogonale à (AB) et (CD) .


ce que j'ai essayé :
avec cordonnées des vecteurs , faire en sorte que xx'+yy'+zz'=0 , mais il y a trop d'inconnues !
merci de votre aide.

[Luc69]

Tout de suite là, je pense à la norme du produit vectoriel de deux vecteurs orthogonaux qui est égal au produit des normes. Ecrit deux fois avec deux inconnues, ça doit peut-être le faire.

Modif : :--: De mon temps ....

[bombastus]

Bonjour,

Le produit vectoriel au lycée??

Sinon tu peux le faire avec les coordonnées, mais comme tu ne connais pas IJ, il faut faire : IJ = IA + AC + CJ
et exprimer les coordonnées de IJ en fonction des coordonnées des 3 autres vecteurs.

[Dr Neurone]

Bonsoir hpauline ,

Je pense que le produit vectoriel c'est pas ta tasse de thé , je te propose un petit menu sympa avec un système à 2 inconnues, à la Bombastus.

[hpauline]

merci mais ça ne me mène nulle part : j'ai toujours autant d'inconnues ;
je ne vois pas à quoi ça sert de casser le vecteur IJ en IA +AC+CJ grâce à la relation de chasles ? je n'arrive pas plus à trouver les coordonnées de I et J ?

[bombastus]

Soit x, y et z les coordonnées de IJ. Si IJ = IA + AC + CJ, alors x est égal à la somme de l'abscisse de IA et de l'abscisse de AC et de l'abscisse de CJ. Tu fais la même chose pour l'ordonnée et la côte.

Ensuite, tu fais IJ.AB=0 et IJ.CD=0 et tu auras un système de 2 équations à 2 inconnues (a et b).

[hpauline]

ok merci, je m'y mets !

[hpauline]

j'arrive au système suivant :

2x-4y=0
4x+4y=0

x et y seraient du vecteurs IJ seraient nuls ?

en associant les vecteurs IA + AC +CJ , on arrive de toute façon à IJ , je ne vois pas comment ça peut m'aider à me débarrasser des coordonnées inconnues?

[neuneu]

Bonjour hpauline qu'as tu trouvé pour coordonnées pour les points I et J?

[neuneu]

Ce que je te conseille c'est d'appeler (x,y,z) les coordonnées de I et (x',y',z') ceux de J.
A partir de tes relations et exprime x,y,z,x',y',z' en fonction de et .
Ensuite il faut résoudre le système donné par et ( qui te prouve l'orthogonalité souhaitée).
Ce système est d'inconnus a et b . Tu n'as plus qu'à le résoudre et comme plus haut tu as exprimé x,y,z,x',y',z' en fonction de et tu obtiendras ce que tu veux.

[bombastus]

j'arrive au système suivant :

2x-4y=0
4x+4y=0

Comment obtient-tu ces équation?

Je vais essayer de compléter mon raisonnement :
On a :
IJ = IA + AC + CJ
IJ = -AI + AC + CJ
IJ = -aAB + AC + bCD (ça c'est l'étape qu'il te manquait, je crois)
Donc :

Et là tu auras les coordonnées de IJ en fonction de a et b.

[hpauline]

eureka ! merci beaucoup !