par Florélianne » 18 Jan 2009, 21:25
Bonsoir,
Reprenons l'énoncé :
On considère un escalier dont le nombre de marches est entre 600 et 700. SI on monte les marches 2 par 2, il en reste 1.
donc n est impair si on ajoute 1 on a un nombre pair
donc si on rajoute une marche il n'en reste plus
3 par 3, il en reste 2,
donc le reste de la division euclidienne de n par 3 est 2
si on ajoute 1, 2+1 = 3 le reste de la division euclidienne de n+1 par 3 est 0
4 par 4, il en reste 3
donc le reste de la division euclidienne de n par 4 est 3
si on ajoute 1, 3+1 = 4 le reste de la division euclidienne de n+1 par 4 est 0
et 5 par 5, il en reste 4.
donc le reste de la division euclidienne de n par 5 est 4
si on ajoute 1, 4+1 = 5 le reste de la division euclidienne de n+1 par 5 est 0
Combien l'escalier a-t-il de marches? (Il n'y a peut-être pas une solution unique!)
donc n +1 est divisible par 2 , 3 , 4 et 5
s'il est divisible par 4 il l'est par 2 donc on peut ignorer 2
on obtient :
n+1 congru à 0 [3]
n+1 congru à 0 [4]
n+1 congru à 0 [5]
(3,4,5) premiers dans leur ensemble
n+1 congru à 0 [3x4x5]
en terme de divisibilité, si 3 , 4 et 5 divisent n+1 , comme 3, 4 et sont premiers entre eux c'est que 3x4x5 divise n+1
3x4x5 = 60 si 60 est un diviseur de n+1 , la plus petite valeur possible est 60x1
donc n+1 = 60
ce qui nous donne n = 59
mais ce n'est que la plus petite des solutions et elle ne convient pas car :
le nombre de marches est compris entre 600 et 700
tous les multiple de 60 sont des solutions pour n+1
soit q le quotient de n+1 par 60 on a :
n+1=60q
si q = 10 alors 60q = 600 et n= 599 700 ne convient pas
Je t'ai expliqué par divisibilité parce qu'il semble que les congruences ne soient pas encore assimilées !
pourtant c'est simple , en travaillant avec les congruences, on ne garde que le reste de la division, plus besoin de s'occuper du quotient !
Très cordialement
