1 ère Loi des sinus / Formule de Heron

[NathanDevil]

Bonjour !
Pouvez vous m'aidez sur ses deux parties ?
Je ne demande pas une réponse toute faites (même si je ne suis pas contre) mais au moins des pistes sur les résultats ! J'essaye dans tout les sens et je n'y arrive pas
merci

Dans un triangle ABC, on note HA, HB et HC les pieds des hauteurs respectivement issues de A, B et C.
On note également a = BC, b = AC et c = AB et S l’aire du triangle ABC.

PARTIE A : Loi des sinus

1. Exprimer l’aire S du triangle ABC de trois manières différentes à l’aide des trois hauteurs.
2. Déterminer sin A, sin B et sin C en fonction de l’aire S et des longueurs a, b et c.
3. En déduire la loi des sinus :
sinA/a=sinB/b=sin C/c=2 S/abc

PARTIE B : Formule de Héron

1. Exprimer cos A en fonction de a, b et c.
2. En déduire que sin² A =4b²c²−(a² − b²− c²)² /4b²c²
3. On note p le demi-périmètre du triangle ABC : p = 1/2(a + b + c).
Montrer que sin A = 2/bc * √p(p − a)(p − b)(p − c).
4. En utilisant la loi des sinus, en déduire que S = √p(p − a)(p − b)(p − c).

[Black Jack]

Salut,

Coup de main :

Fais un dessin

S = 1/2 * c * (CHc) = ...
Dans le triangle ACHc, on a CHc = b.sin(A)

--> S = 1/2 * c * b.sin(A)

sin(A) = 2.S/(c.b)

A toi de comprendre et faire pareil pour trouver sin(B) = ... et sin(C) = ...

Tu auras alors répondu à l'entièreté des questions A 1 et 2

La question 3, est alors facile à aborder à partir des 3 résultats obtenus.