Eqution de pythagore x²+y²=z²

[chtirico]

Bonjour,

J ai un exercice à faire, pouurriez vous m'aider svp

Soit x²+y² = z². Le but est de trouver les solutions de cette équation. On suppose que x,y,z est une solution.
1. On suppose que x est pair et que y et z sont impair et que x et y sont premier entre eux.
1.a. Prouvez que x et z sont premiers entre eux ainsi que y et z

J'ai fait qqch maisje ne suis pas du tout sur de mon raisonnement :
x et y premier entre eux
donc ax + by = 1
donc ax²+ by² = 1
donc ax² + b(z²-x²) = 1
donc (a-b)x² + bz² = 1
donc ((a-b)x) x + (bz)z = 1
donc x et z sont premiers entre eux

et j'ai fait le meme raisonnement pour y et z premier entre eux.

1.b. on pose x = 2q. Il fallait vérifier que q² =((z-y)/2) ((z+y)/2) et que ((z-y)/2) et ((z+y)/2) étaient strictement positif. Ca j'ai su faire.

Pour le reste je bloque
1.c. prouvez que ((z-y)/2) et ((z+y)/2) sont premiers entre eux.

1.d. déduisez en qu'il existe des entiers u et v tels que 0
1;e. déduisez en que x=2uv ; y =v²-u² et z = u²+v² Ca c'est bon j'ai su faire

[Ben314]

... ax + by = 1
donc ax²+ by² = 1

5x3-2x7=1 => 5x3²-2x7²=1 ????

A part cette "grosse" bourde, le reste est trés bien.
Pour le 1.c), tu peut utiliser le même type de méthode qu'au 1.a. en utilisant le fait que z = (z-y)/2 + (z+y)/2 et que y=....

[chtirico]

et est ce que je peux faire

ax + by = 1 implique que a' x² + b' y² = 1 ?

[Ben314]

et est ce que je peux faire
ax + by = 1 implique que a' x² + b' y² = 1 ?

Oui, mais il faut expliquer pourquoi... (c'est effectivement une bonne méthode puisque la suite est O.K.)

[dudumath]

si x et y sont premiers entre eux, que dire de x² et y²??

[chtirico]

Pour la 1a)

J'ai une idée pour montrer que x² et y² sont premiers entre eux :

Soit d =pgcd (x²+y²)
Donc il existe x' tel que x² = dx' et il existe y' tel que y² = dy' avec x' et y' premiers entre eux.

Comme x est pair alors x² est aussi pair donc soit d=1 et x' = x² soit d est un multiple de 2
Comme y est impair alors y² est aussi impair. Donc dans ce cas d n'est pas un multiple de 2 donc d = 1

Par conséquent comme pgcd (x²; y²) = 1 alors x² et y² sont premiers entre eux (et après je peux enchainer avec la démostration que j'avais faite)

1c) j'ai également trouver la réponse

1d) pourriez vous me donner une indication. merci

[Doraki]

Comme x est pair alors x² est aussi pair donc soit d=1 et x' = x² soit d est un multiple de 2

hein ? qu'est-ce qui empêche d d'être impair ?

Y'a 2 manières de montrer que x² et y² sont premiers entre eux.
1) Par l'absurde : Tu supposes qu'un nombre premier p divise x² et y², et tu montres que c'est pas possible.

2) Tu utilises Bézout : tu développes 1 = 1^3 = (ax+by)^3 = ...


pour le d), t'as vu en b) que q² se factorisait en un produit s*t, et en c) tu as vu que s était premier avec t.
Il s'agit de montrer que s et t sont eux-même des carrés.
(là il faut utiliser la décomposition de q,s,t en facteurs premiers)

[dudumath]

hein ? qu'est-ce qui empêche d d'être impair ?

l'énoncé^^, et oui chtirico un nombre et son carré ont même parité

[chtirico]

en utilisant bezout, j'ai trouvé merci

[chtirico]

pour 1d j'ai fait ce qui suit mais j'ai un doute car j'ai pris les meme exposant pour les pi et les qi

x = p1^a1 ... pn^an la décomposition en facteur premier de x
y = q1^a1 ... qn^an la décomposition en facteur premier de y

Comme x et y sont premiers entre eux, tous les pi sont différents des qi
donc
x×y = p1^a1 ... pn^an x q1^a1 ... qn^an

Puisque x×y est un carré, tous les exposants sont pairs. Ainsi :
Tous les ai sont pairs donc x et y sont des carré

[Ben314]

pour 1d j'ai fait ce qui suit mais j'ai un doute car j'ai pris les meme exposant pour les pi et les qi

x = p1^a1 ... pn^an la décomposition en facteur premier de x
y = q1^a1 ... qn^an la décomposition en facteur premier de y

Comme x et y sont premiers entre eux, tous les pi sont différents des qi
donc
x×y = p1^a1 ... pn^an x q1^a1 ... qn^an

Puisque x×y est un carré, tous les exposants sont pairs. Ainsi :
Tous les ai sont pairs donc x et y sont des carré

C'est impec. sauf que tu dit toi même qu'il n'y a aucune raison que les exposants soient les même donc partout où tu a écrit un q?^a? ben tu met par exemple q?^b? et à la fin t'écrit "tout les ai et tout les bi sont pairs"
roule ma poule...

[chtirico]

merci pour ton aide.

[Lananas]

Bonjour, jai le même exercice a faire quasiment et je n'arrive pas du tout a faire la 1b) ça serait vraiment sympa si quelqu'un pouvais m'aider , je vous remercie.