Equations et inéquations

[audreys]

bonjour,
il faut résoudre ses équations et inéquations dans :

a)

b)

Que dois-je faire pour trouver les solutions de ces équations?
merci pour vos réponses

[Nightmare]

Bonjour

Tu ne dois pas chercher bien longtemps avant de poser tes questions sur le forum ...

Pour le premier :
pour b et c non nul :


Pour le deuxiéme :


Réduit au même dénominateur

:triste:
Jord

[audreys]

Merci pour ta réponse

[Nightmare]

De rien :happy3:

Tu as réussi au moin ?

:happy:
Jord

[audreys]

oui j'ai réussit grâce à des fonctions.
merci encore

[Nightmare]

? grace à des fonctions ? c'est à dire ?

[Anonyme]

elle a du étudier les fonctions...

[Nightmare]

Oui c'est bien ce qui me fait peur ...

[celge]

Fallait lui parler de ln, peut etre qu'elle connait pas.... :bad: :stupid:

(je suis méchant, mais c'est vrai que je vois pas l'utilité de passer par des fonctions...)

[Nightmare]

Non mais tu as raison Celge c'est une perte inconsidérable de temps de passer par une étude de fonction...

[Alpha]

A mon avis, la seule fonction qu'elle ait pu utiliser, c'est ln...

Au cas où, je précise que

l'équation donne , et donc, en composant par ln (fonction réciproque de l'exponentielle), x=0.

Pour l'inéquation, comme e^x est toujours positif, on multiplie tout par ,
et en posant , on se ramène à étudier le signe d'un trinôme du seconde degré.

:happy3:

[Nightmare]

Question pédagogique :

Dans la majorité des cours de terminale, on introduit l'exponentielle comme la fonction étant sa propre dérivée et valant 1 en 0.

De ce fait, pensez vous que, lorsqu'un éléve doit résoudre l'équation , il sera mieux vu par le prof en composant par ln ou en disant simplement : "donc x=0 (par définition de l'exp.)" . :hein:

:happy3:
Jord

[Alpha]

Si, mais alors ce que tu viens de dire ne suffit pas, car ce que tu viens de dire signifie juste que x=0 est une des solutions de l'équation e^x=1.

Pour justifier que c'est la seule, il faut dire que l'exponentielle est strictement croissante sur .

Mais si on utilise ln, on n'a pas besoin de tout cela, puisque le fait que ce soit la bijection réciproque de l'exponentielle implique que x=0 est la seule solution.

Amicalement

:happy3:

[Nightmare]

De toute façon, en composant par ln, il faut aussi préciser qu'elle s'annule en 1 (par définition) donc ça revient au même

:happy3:
Jord

[Nightmare]

Et on est aussi obligé de préciser que 1 est le seul réel qui peut annuler ln(x).

Donc en fait on doit apporter les mêmes précisions pour les deux donc autant passer par la définition de l'exp.

[Nightmare]

Donc en gros, rédaction rigoureuse :

On souhaite résoudre :


Par définition de l'exponentielle de base e, elle s'annule en 0. Donc a=0 est solution.
De plus comme la fonction est injective (car strictement croissante), 0 est l'unique solution de cette équation.

C'est quand même lourd pour une si petite équation :ptdr:

:happy:
Jord

[Alpha]

1ère solution :

, or et ->est une fonction strictement croissante sur R,

(donc
, )

(Un élève de Terminale ne peut pas dire directement, si ma mémoire est bonne, que puisqu'elle est strictement croissante, il n'existe qu'une solution, mais je peux me tromper)

donc x=0 est l'unique solution de l'équation.


2ème solution :

e^x=1 x=ln1=0 donc l'unique solution est x=0.

A chacun de choisir celle qu'il préfère. :happy3:

[Nightmare]

L'injectivité suffit pour l'unicité de la solution. Mais c'est vrai que pour un éléve de terminale sortir que l'exponentielle est une injection (même une bijection mais ici l'injection suffit) c'est un peu prématuré.

Alpha, tu dis :

e^x=1 x=ln1=0 donc l'unique solution est x=0.

Il faut bien sur préiciser que ln est la bijection réciproque de l'exp. . Et si l'on en vient à préciser pourquoi le fait que l'exponentielle soit strictement croissante rend la solution unique, il faut aussi préciser pourquoi on a l'équivalence que tu as écrite du fait que ln soit la bijection réciproque de l'exp.

Donc on marque bien gentilment :
Comme ln est la bijection réciproque de l'exp. , pour tout x et y réels (dont y positifs) : exp(x)=y x=ln(y)


Jord

[Alpha]

Et on est aussi obligé de préciser que 1 est le seul réel qui peut annuler ln(x).

Donc en fait on doit apporter les mêmes précisions pour les deux donc autant passer par la définition de l'exp.

Pas besoin, car dans ce que j'ai appelé ma deuxième solution, on utilise un théorème du cours :

e^x = patate équivaut à x=ln (patate)


:ptdr:

[Nightmare]

Oui mais exp(x)=1 x=0 est aussi un théorème du cours (enfin une propriété).

Maintenant tout dépend du cours. Et puis de toute façon je ne pense pas qu'il existe beaucoup de profs assez pointu sur la rédaction pour punir un éléve qui dit simplement exp(x)=1 x=0

:happy3:
Jord