équations différentielles

[the_pooh12]

Bonjour,

Je cherche une solution particulière de y'' + 3y' + 2y = ((t-1)*exp(-t)) /t^2

La solution générale de l'équation caractéristique est y(t) = A exp(-t) + B exp(-2t) où A et B sont des réels.

Je cherche par la suite une solution particulière de mon équation sous la forme y(t) = A(t) exp(-t) + B(t) exp(-2t)
avec la condition A'(t) exp(-t) + B'(t) exp(-2t) = 0

Mais je ne vois pas d'où vient cette solution...
Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

Merci

[XENSECP]

Méthode de la variation de la constante... classique ^^

[the_pooh12]

...
Pas classique pour moi ^^
Il faut dériver ???

[the_pooh12]

je comprends pas comment les constantes peuvent se transformer en fonctions... :triste:

[uztop]

Salut,

c'est une méthode pour trouver une solution particulière, on suppose qu'elle sera de la forme y(t) = A(t) exp(-t) + B(t) exp(-2t) (les constantes ont été remplacées par des fonctions, d'où le nom)
Est ce que tu peux exprimer y' et y'' ?
Ca donne quoi en remplaçant dans y'' + 3y' + 2y = ((t-1)*exp(-t)) /t^2 ?

[the_pooh12]

Oui il suffit de dériver y(t) et en remplaçant dans y'' + 3y' + 2y = ((t-1)*exp(-t)) /t^2 on a y'' + 3y' + 2y = -A'(t) exp(-t) - 2B'(t) exp(-2t)

Donc on résout le système et on trouve les valeurs A(t) = ln(t) + 1/t et B(t) = exp(-t)/t.
Ça je comprends.

Mais je ne comprends pas pourquoi on suppose que A(t) et B(t) sont des fonctions puisque dans la résolution de l'équation, la solution générale est du type A exp(-t) + B exp(-2t) où A et B sont des réels.

[Ericovitchi]

Elle ne se transforment pas en fonctions :we:

C'est juste une idée assez astucieuse. La logique c'est de se dire : qu'est-ce qu'il se passe si ces constantes A,B étaient des fonctions au lieu d'être des constantes ?
Quand on dérive un Ay ça donne un Ay' mais si A est une fonction ça donne un Ay' mais il faut aussi rajouter un A'y
Toute une partie va s'annuler car on sait que A(t) exp(-t) + B(t) exp(-2t) est solution de l'équation sans second membre et la deuxième partie (c'est qui a des A', etc... ) va servir à créer le second membre.

C'est juste une recette qui marche, il n'y a rien de magique là dedans.
La résolution des équations différentielles, c'est comme les intégrales, c'est bourré de recettes comme ça.

[the_pooh12]

Donc on procède toujours comme ça si je comprends bien...
Alors il ne faut pas trop se poser de questions comme "Pourquoi on se demande qu'est-ce qu'il se passe si ces constantes A,B étaient des fonctions au lieu d'être des constantes ?"

Ok
Merci pour votre explication, c'est déjà plus clair dans ma tête !!!

[uztop]

Donc on procède toujours comme ça si je comprends bien...

pas exactement, mais c'est une méthode qui marche bien.
En fait, tu as surement appris que la solution générale d'une équation différentielle est égale à la somme de la solution de l'équation sans second membre + solution particulière.
Peu importe la façon de trouver la solution particulière, il suffit de trouver une solution qui marche (dans certains cas simples, tu peux même la deviner, il suffit alors de prouver qu'elle est juste)

[the_pooh12]

D'accord, il faut retenir que c'est juste une méthode au cas où la solution particulière n'est pas évidente à trouver.