Equations différentielles ( TS )

[Redtheone]

Bonjour,
je bloque sur un exercice d'un DM, que je dois rendre Jeudi.

le voici :
1°) => réussi, j'ai établi que ln(1+;)) > /;)+1 et 1/;) * ln(1+;)) > 1/2

2°) Toujours pour fixé dans ]0,1], on se propose d'étudier les fonctions dérivables sur ]-oo;1/2[ vérifiant l'équation différentielle (E;)): y'=y²+;)y et la condition y(0)=1
On suppose qu'il existe une solution y0 de (E;)) strictement positive sur ]-oo,1/2[ et vérifiant y0(0)=1 .
On pose alors sur ]-oo,1/2[ z0=1/Y0

a) Etablir que z0 est solution de l'équation différentielle
(E';)): z' = -(;)z+1)
Résoudre (E';)). Calculez z0(0) puis donner l'expression de z0.




Voila, je bloque un petit peu... Si on pouvait me donner quelques pistes, ça serait sympa...

Cordialement

Redouane

[Noemi]

Pose z = 1/y, puis calcule z'.

[Redtheone]

Je pose z = 1 / y

z' = -(;)z+1) <=> z' = -(;)/y +1) <=> z' = - ;)/y - 1 ?

Je vois pas où ça nous mène.

Est-ce que je pourrait avoir un peu plus d'explications, pour m'aider à comprendre, sans donner les réponses. J'ai vraiment du mal avec ça...

[Noemi]

Il faut établir la relation et non l'utiliser.
Si z = 1/y ( y différent de 0) z' = -y'/y^2
à remplacer dans l'équation : y'=y²+;)y.

[Redtheone]

Ah ok ! Je viens de comprendre, je vais essayer ça...

Merci beaucoup, j'uperai, en cas de problèmes.

A bientot

[Redtheone]

Bon, voilà à quoi j'arrive:

y' = (1/z)² + *(1/z) = /z = *y

[ avec les calculs précédents, on sait que y² = -y'/z', y' = -z'*y² je ne sais pas si on doit l'utiliser ]
En remplaçant par les données trouvées avec z', je trouve y'=(1+;))/z²

[Noemi]

Si z = 1/y ; z' = -y'/y^2
à remplacer dans l'équation : y'=y²+;)y.
Ecrire au début y'/y² = ....
On doit démontrer que : z' = -(;)z+1)

[Redtheone]

ok j'y suis enfin arrivé =)

Désolé d'avoir était un peu lourd >< je comprenais vraiment rien

Merci beaucoup Noémi !

A bientot

[Redtheone]

Je suis passé a la résolution, mais je doute fort que mon résultat soit bon.

Voici ma démarche :

z(x) = c*exp(-;)x) - (1/;)) [j'ai appliqué la forme... f(x)=c*exp(ax)-(b/a)]

z0 = 1/y0 et y0(0) = 1 donc z0(0) = 1/1 = 1

donc c*exp(-;)*1)- (1/;)) = 1
c*exp(-;)) = 1+(1/;) )= (;)+1)/;)
c = [ (;)+1)/;) ] / exp(-;))
.... etc etc.....
c = exp(;))*(1+(1/;)))

donc z ( x ) = exp(;))*(1+(1/;))) * exp (-;)x) - (1/;))

merci

[Noemi]

une erreur ;
z(0) = c*exp(-;)*0)- (1/;)) = 1
soit c - (1/;)) = 1
donc c = ....

Je te laisse pousuivre

[Redtheone]

ok, merci, j'ai donc poursuivi :
ça simplifie

z(0) = c*exp(-;)*0)- (1/;)) = 1
...calculs...
C = (;)+1)/;)

donc z(x) = (;)+1)/;) * exp(-;)x) - 1/;)
...calculs...
z(x) = ( -exp(;)x) + + 1) / ( exp(;)x)*;) ) utile ?

:++:

[Noemi]

C'est juste. Pour la deuxième expression, l'utilité dépend de la suite de l'exercice.

[Redtheone]

j'ai donc trouvé : z ( x ) = (;)+1/;)) * exp(-;)x) - (1/;))

pour Zo(0) il faut juste remplacer le x par 0.
Ce qui fait :
zo(0)= (;)+1/;)) * exp0 - (1/;))= ( + 1 - 1)/;) = /;) = 1

puis donner l'expression de Zo

J'ai pas trop compris ça.
Je dois juste dire : zo = (;)+1/;)) * exp(-;)x) - (1/;)) ?

[maturin]

oui
en fait quand on te demandait de calculer z0(0) il suffisait de dire z0(0)=1/y0(0)=1

et quand on te demande z0(x) il faut faire les calculs que tu viens de faire pour trouver c=(;)+1)/;) et donc écrire zo(x) = (;)+1)/;) * exp(-;)x) - (1/;)).

Toi tu es parti de z0(0)=1/y0(0)=1 puis tu as calculé c, puis recalculé z0(0) et tu retrouvais bien z0(0)=1 ce qui est souhaitable vu que tu étais parti de ça...

[Redtheone]

Ok merci beaucoup ^^'
Je passe à la suite de mon DM. Merci beaucoup de votre aide.

A bientot.