Dm équations différentielles

[Ncromancien]

Bonjour.
J'ai un problème avec mon dm sur les équations différentielles(je bloque a la deuxième question)
L'énoncé complet est:

"Résolution de l'équation différentielle(1): y'-2y=xe^x

1°)Résoudre l'équation différentielle(2): y'-2y=0 où y désigne une fonction dérivable sur R
2°)Soient a et b deux réels et soit u la fonction définie sur R par: u(x)=(ax+b)e^x
a)Déterminer a et b pour que u soit solution de l'équation (1)
b)Montrer que v est une solution de l'équation (2) si et seulement si, u+v est solution de (1)
c)En déduire l'ensemble des solutions de (1)
3°)Déterminer la solution de l'équation (1) qui s'annule en 0"

Donc,pour la 1j'ai passé -2y de l'autre côté,ce qui me donne
y'=2y
Les solutions sont les fonctions f définies par f(x)=Ce^ax = Ce^2x"

Je pense que ca doit être juste^^

Pour la 2°)a), je bloque.
Je ne voit vraiment pas comment faire...
Quelqu'un pourrait essayer de me mettre sur la voie?
Merci d'avance :)

[el niala]

2a) tu sais calculer u'(x) non ? puis écrire l'équation u'(x)-2u(x)=xe^x ?
d'où par identification les valeurs de a et b pour que cette équation soit vérifiée pour tout x ?

[Ncromancien]

Oui, u'(x)=e^x-((ax+b)e^x)

heu,donc après ca donne

e^x-((ax+b)e^x)-((ax+b)e^x)=xe^x

Mais après heu, j'ai un doute la...

[el niala]

non, 2 erreurs dans u'(x) (tu dois dériver un produit)
u'(x)= ae^x+(ax+b)e^x

et tu fais encore un erreur ensuite car tu oublies le facteur "2" dans y'-2y

[Ncromancien]

Ah oui,j'ai du considérer le a comme un 1 j'imagine...
Ca donnerait donc

(ae^x+(ax+b)e^x)-2((ax+b)e^x)=xe^x ?

[el niala]

oui, continue, simplifie tu devrais trouver a et b

[Ncromancien]

Dans un premier temps si j'arrive a ae^x-[(ax+b)e^x]=xe^x
C'est bon pour l'instant ou pas?

[el niala]

oui, mais essaie quand même d'écrire plus d'une ligne par post :lol3:
fais tout passer dans le membre de gauche
une exponentielle n'étant jamais nulle, mets-la en facteur et...

[Ncromancien]

Excusez moi pour les petites réponses^^

Bon,cela donne donc
-xe^x+ae^x-[(ax+b)ex]=0
e^x[-x+a-(ax+b)]=0

Donc,comme vous avez dit, e^x est strictement positive sur R,
donc je doit trouver quand [-x+a-(ax+b]=0 ?
Et donc en déduire a et b ?
Mais vu que c'est avec x je ne sais pas comment faire...

[el niala]

c'est avec x certes, mais ça doit valoir 0 quel que soit x

à ton avis pour que Ax+B soit nul quel que soit x, que peuvent valoir A et B ?

[Ncromancien]

Ben, 0 je pense...

[el niala]

tu penses bien :zen:
alors ça donne quoi pour a et b ?

[Ncromancien]

Ben,
je pense que b=0,
Mais j'ai un dout pour le a à cause du -x + a...
a=0 aussi ?

[Ncromancien]

Non,il faut que a=1 et b=1

car cela donnerait -x +1-(-x+1)
Et donc après ca donne 0

C'est ca?

[el niala]

si a=1 -x-ax ça donne -2x et pas 0 :triste:

après avoir vérifié ton erreur tu devrais trouver a=b=-1

maintenant que tuas u(x)=-(x+1)e^x, essaie de faire 2b) en utilisant le fait que v'-2v=0 et que u'-2u=xe^x

[Ncromancien]

Ah oui...
J'ai fait une erreur de calcul...
Ah oui,pour la qestion b, je me souviens d'avoir déjà fait ca en cours je croit, je vais éssayer de refaire comme on avait fait.

J'ai peut-être une petite idée,je vais essayer de l'appliquer^^

[Ncromancien]

J'ai poser y=u+v
Qui ma donner -(x+1)X(e^x+v)

J'ai fait ensuite y'=-2e^x+v-xe^x-v'
(j'ai un doute sur ma dérivée...)

et ensuite je pensais réutiliser y'-2y=xe^x

Ce que je fait est bon ou pas?

[el niala]

tu l'as sans doute déjà fait en cours, reprends tes notes, c'est un grand classique :
"la solution générale d'une ED avec second membre non nul est la somme de la solution générale avec second membre nul et d'une solution particulière"

ne remplace pas u et v par leur expression, ça marche tout seul, dans le sens => comme pour la réciproque

[Ncromancien]

Je dois donc le faire juste avec u et v ?
Je n'est pas bien compris, je dois donc, avec y=u+v ; v'-2v=0 et u'-2u=xe^x réussir a montrer que v est une solution de l'équation 2 si et seulement si u+v est solution de 1 ?

[Ncromancien]

Puis-je faire comme ca?

(u-v)'+2(v-u)=xe^x
u'-v'+2v+2u=xe^x
2v-v'=-u'-2u+xe^x
2v-v'=-xe^x+xe^x
2v-v'=0

Donc v solution de (2)

J'ai le droit de faire ca?