équations dans N² - puissances

par **Zouizzzz** » 29 Aoû 2006, 18:10

Bonjour,
Je bloque sur le problème suivant :
- Résoudre dans N² l'équation m^n = n^m
(m^n symbolisant "m puissance n"...).

Une partie évident de l'ensemble des solutions est, bien sûr, les cas où m=n...
Mais comment trouver le reste ? o_o
Après maintes péripéties, j'ai également obtenu les solution (2, 4) et (4, 2), mais par une démarche bien trop longue et compliquée d'une part, et qui d'autre part ne m'assure pas qu'il n'y ait pas d'autres solutions...

Quelqu'un aurait-il une résolution "simple" et totale ? :hein:

par **nekros** » 29 Aoû 2006, 18:14

Salut,

Tu peux aller voir ce lien et celui-ci pour te faire une idée du problème.

A+

par **Flodelarab** » 29 Aoû 2006, 18:15

déjà vu recemment sur ce forum.
l'outil fantastique pour éliminer les puissances: le logarithme

soit

a toi de continuer...

par **Zouizzzz** » 30 Aoû 2006, 15:10

Ok...ensuite on étudite

, on trouve que les couples solutions dans

sont

par **Zouizzzz** » 30 Aoû 2006, 17:28

Ok...donc ensuite on étudie

, on trouve que les couples solutions dans

sont dans

et on en déduit que les seules solutions dans

, (pour m différent de n) sont (2,4) et (4,2)...
Merci. :happy:

par **aviateurpilot** » 30 Aoû 2006, 17:32

http://www.maths-forum.com/showthread.php?t=13435&page=9&pp=10&highlight=x%5Ey%3Dy%5Ex

aviateurpilot a écrit:
si p|x avec p premier alors p|y
avec
donc et
donc il existet N tel que et
dans ce cas
si
alors y|x, donc x=ny (n>1)

donc

si y>1 et n>2,
les seules possiblités
n=2 donne y=2 alors x=4
si x=y, l'equation est verifié
donc S={(2,4),(4,2),(x,x) quelque soit x}

équations dans N² - puissances

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