Equations De Cercles & Tangentes

[Haexyrus]

Bonjour,

J'ai deux petits problèmes avec les équations des cercles et leurs tangentes, j'espère que vous pourriez m'aider:

1) Les données: A(-2,2) ; B(-3,0) ; D:2x-y+1=0
(a) Montrer que (AB) // D
(b) Déterminer l'équation du cercle C passant par A et B et tangent à la droite D

2) Ce problème n'est pas lié à un exercice précis, juste une idée qui m'est passé par la tête :mur: : Si on a un cercle C dont l'équation est donnée, ainsi qu'un point X donné, et qu'on nous demande de trouver les équation des tangentes à C passant par X, on procède comment ?

Merci d'avance

[The Void]

Salut,
1)a) le principe est de chercher les vecteurs directeur de (AB) et de D et de voir si ils sont colinéaires
Vecteur AB (-3+2; 0-2) soit vecteur AB(-1;-2)
Vecteur D (1; 2) (le vecteur directeur d'une droite d'équation ax+by+c=0 est (-b; a), pour information le vecteur normal d'une telle droite est (a; b))

Les coordonnées sont proportionnelles, donc les vecteurs sont colinéaires
=> (AB) // D

[Haexyrus]

Merci The Void :) Le vrai problème c'est la question suivante au fait :briques:

[The Void]

Hum, on a pas encore vue cette partie du chapitre de terminale...

Mais j'ai surement ce par quoi commencer

On a l'équation du cercle de la forme (x-xo)²+(y-yo)²=R²
A € C et B € C
=> (-2-xo)²+(2-yo)² = R²
(-3-xo)²+yo²=R²

De plus,
Il existe M(x; y) qui vérifie
2x-y+1=0
(x-xo²)²+(y-yo)² = R²

[Haexyrus]

Terminale ?! Je suis en l'équivalent de la seconde chez vous au fait, et cet exos a été donné en DM :S

Moi, j'ai pensé à une autre solution :

J'ai cherché M = A*B => M(-5/2,1)

Puis j'ai cherché V la médiatrice de [AB] (qui passe forcément par M) => V:2x+4y+1=0

Après, j'ai cherché {H} = D inter V => H(-1/2,0)

Ensuite, j'ai pris V' la médiatrice de [HB] => V':x=-7/4

Après ça, j'ai procédé directement en disant que le point d'intersection de V et V' sera le centre du cercle C (on peut aussi prendre le triangle HAB et dire que l'intersection des deux médiatrices sera le centre du cercle circonscrit contenant A et B) et j'ai cherché les coordonnés du point d'intersection de V et V' noté I => I(-7/4, 5/8)

A la fin, il suffit de chercher la distance I'A = R = 5.rac(5)/8 et d'écrire l'équation => C: (x + 7/4)^2 + (y - 5/8)^2 = 125/64


Cependant, je crois qu'il y a des inconvénients à cette solution, surtout que lorsque j'ai commencé à chercher les médiatrices, je savais même pas pourquoi, et je sais toujours pas pourquoi

[The Void]

j'ai dit une bêtise :mur:

[Haexyrus]

Bon, un autre exos par rapport aux cercles:

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(O,i,j) un repère orthonormè du plan. On considère le cercle C d'équation x^2+y^2-4x-2y+1 = 0

1a) Déterminer le rayon R de C ainsi que les coordonnées de son centre I
b) Montrer que C est tangent à (O,i) en A(0,1)
c) Soit D(a): y = ax+1 (a un réel). Montrer que D(a) et C sont sécants pour toute valeur de a et déterminer en fonction de a les coordonnés du point N, second point d'intersection de D(a) et C (A étant le premier)
d) Comment choisir a pour que le triangle IAN soit équilatéral ?

2) Soit T: y=x+1 (D(1) = T) et B(-1,-2). Montrer qu'il existe un seul cercle C' passant par O et B et tangent à T
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Je vous passe ce que j'ai trouvé:

1a) I(2,1): R=2
b) d(I, (O,i)) = R donc (O,i) tangente à C
A€C et A€(O,i) donc C tangent à (O,i) en A
c) d(I, D(a))^2 - R^2 = (-4)/(a^2 + 1) <0 donc d D(a) et C sécantes pour tout a
N(4/(1+a^2), (a^2+4a+1)/(1+a^2) (j'ai trouvé ça à partir du système d'intersection)
d)IAN équilatéral donc IA=IN=AN=2 (comme A€C et N€C alors IA = IN = R)
AN^2 = 4 <=> .... <=> a = rac(3) ou a= -rac(3)
(mais ici, y faut montrer que I, A et N ne sont pas alignés, et je vois pas trop comment faire, un copain m'a dis que a doit être différente de O pour faire, mais je vois pas comment il a eu ça)

2) La j'en sais rien, j'ai essayait de faire un système avec le fait que :
* OJ = JB (J(x, y) le centre de C') car O€C' et B€C'
* d(J, T) = OJ car OJ = R' et T tangente à C'
Mais ça n'a mené à rien

Merci d'avance