équation d'une^parabole à partir de 3 tangentes

par **marko73** » 21 Fév 2015, 15:41

Bonjour
Ce problème à peut-être déjà était posé sur ce forum mais en voici l'énoncé :
on a 3 droites :
y=x
y=-5x+3
y=7x-9
on recherche l'équation d'une parabole qui aurai pour tangentes ces droites
J'ai déjà cherché sur différents sites mais soit les explications n'était pas assez développer et détaillé soit je n'arrivais pas à comprendre car trop compliqué, donc pouvez vous me donner une méthode ou une piste à suivre. Cela fait depuis le début des vacances que je me casse les dents dessus sans pouvoir arriver à démarrer.
merci d'avance

par **danyL** » 21 Fév 2015, 15:53

bonjour
je ne sais pas comment il faut faire, mais as-tu tracé les tangentes sur un graphique ?
cela te donnera peut etre des idées sur comment procéder pour trouver en quels points les droites tangentent la parabole
ou pour trouver l'axe de symétrie, ou le sommet

par **zygomatique** » 21 Fév 2015, 17:00

salut

donc

y = x = u + 1(x - u) donc f(u) = u et f'(u) = 2au + b = 1

y = -5x + 3 = -5(x - v) + 3 - 5v donc f(v) = 3 - 5v et f'(v) = 2av + b = -5

y = 7x - 9 = 7(x - w) + 7w - 9 donc f(w) = 7w - 9 et f'(w) = 2aw + b = 7

.....

par **alexis6** » 21 Fév 2015, 17:11

J'ai fait la même chose que zygomatique, mais en enlevant les a et les b, je trouve u=v=w=0, ce qui est impossible...

par **siger** » 21 Fév 2015, 18:43

Bonsoir

il faut tenir compte du fait que les points d'abscisses u,v et w sont sur la parabole
au² + bu + c = av² + bv + c
d'ou a(u²-v²) + b(u-v) = 0 et comme u est supposé different de v
a(u-v) + b = 0
d'autre part on a 2au +b = 1 et 2av +b = -5
d'ou 2a(u-v) = 6
ce qui
permet de determiner b
....
même chose en prenant deux autres tangentes, d'ou a
......

par **marko73** » 21 Fév 2015, 18:56

zygomatique a écrit:salut

donc

y = x = u + 1(x - u) donc f(u) = u et f'(u) = 2au + b = 1

y = -5x + 3 = -5(x - v) + 3 - 5v donc f(v) = 3 - 5v et f'(v) = 2av + b = -5

y = 7x - 9 = 7(x - w) + 7w - 9 donc f(w) = 7w - 9 et f'(w) = 2aw + b = 7

.....

dac et en gros à partir de f'(u) f'(v) et f'(w) je peut trouver f(x) ?

par **chan79** » 21 Fév 2015, 19:12

marko73 a écrit:dac et en gros à partir de f'(u) f'(v) et f'(w) je peut trouver f(x) ?

on y arrive en écrivant que 3 discriminants sont nuls.
Un seul point d'intersection de la parabole avec la droite y=x
y=ax²+bx+c
y=x
donc
ax²+(b-1)x+c=0
(b-1)²-4ac=0
pareil avec les deux autres droites
Le calcul est assez simple

par **siger** » 21 Fév 2015, 19:39

bonjour

alexis6 a écrit:J'ai fait la même chose que zygomatique, mais en enlevant les a et les b, je trouve u=v=w=0, ce qui est impossible...

c'est normal tu ne peux pas determiner 6 inconnues a,b,c,u,v et w a partir de 3 equations
il te faut 3 equations supplementaires:
le point de contact de la tangente est sur la parabole, donc
y = u= au^2+bu +c
y = -5v+7 = av^2 + bv+ c
....

remarque
la solution proposee par Chan79 conduit sans doute a des calculs plus simples

par **zygomatique** » 21 Fév 2015, 20:59

2u + 2v = 1
2u + 2w = 3
2u - v - w = 0

2u + 2v = 1
3v + w = 1
v + 3w = 3

2u + 2v = 1
v + w = 1

2v = 0 v = 0
2w = 2 w = 1

damned ... :cry:

par **marko73** » 21 Fév 2015, 21:19

damned ?
pour moi c'est une bonne piste mais il me semble que ça ne colle pas il suffit de regarder sur la calculette ( 7x-9 n'est pas tangentes à F(x))

par **Sa Majesté** » 21 Fév 2015, 21:28

zygomatique a écrit:

par **zygomatique** » 22 Fév 2015, 01:11

Sa Majesté a écrit:

arhg l'erreur ....

ok je corrige mon poste

par **zygomatique** » 22 Fév 2015, 01:35

.... bon j'ai pris un crayon et un papier cette fois ...

en espérant ne plus avoir fait de faute ...

c'était aussi pour répondre à siger :: on a six inconnues .... et six équations ...

donc si je n'ai pas fait d'erreur alors j'ai bon comme dirait le seigneur de La Palice ....

:ptdr:

par **alexis6** » 22 Fév 2015, 02:25

zygomatique a écrit:

.... bon j'ai pris un crayon et un papier cette fois ...

en espérant ne plus avoir fait de faute ...

c'était aussi pour répondre à siger :: on a six inconnues .... et six équations ...

donc si je n'ai pas fait d'erreur alors j'ai bon comme dirait le seigneur de La Palice ....

:ptdr:

" Le calcul est assez simple "

par **chan79** » 22 Fév 2015, 07:55

salut
avec les trois discriminants nuls:
ax²+bx+c=x s'écrit ax²+(b-1)x+c=0 et on a (b-1)²=4ac (1)
ax²+bx+c=-5x+3 s'écrit ax²+(b+5)x+(c-3)=0 et on a (b+5)²=4ac-12a (2)
ax²+bx+c=7x-9 s'écrit ax²+(b-7)x+(c+9)=0 et on a (b-7)²=4ac+36a (3)
Dans (2) et (3), on remplace 4ac par b²-2b+1

b²+10b+25=b²-2b+1-12a
b²-14b+49=b²-2b+1+36a

après simplification
a+b=-2
3a+b=4

a=3
b=-5
et c=3

f(x)=3x²-5x+3

par **zygomatique** » 22 Fév 2015, 09:29

chan79 a écrit:salut
avec les trois discriminants nuls:
ax²+bx+c=x s'écrit ax²+(b-1)x+c=0 et on a (b-1)²=4ac (1)
ax²+bx+c=-5x+3 s'écrit ax²+(b+5)x+(c-3)=0 et on a (b+5)²=4ac-12a (2)
ax²+bx+c=7x-9 s'écrit ax²+(b-7)x+(c+9)=0 et on a (b-7)²=4ac+36a (3)
Dans (2) et (3), on remplace 4ac par b²-2b+1

b²+10b+25=b²-2b+1-12a
b²-14b+49=b²-2b+1+36a

après simplification
a+b=-2
3a+b=4

a=3
b=-5
et c=3

f(x)=3x²-5x+3

en gros tu me dit que j'ai encore merdé !!! :ptdr:

par **zygomatique** » 22 Fév 2015, 10:00

bon cette fois ça marche ... j'ai fait deux fois la même erreur que sa majesté m'avait indiqué .... nom d'une pipe en terre cuite ...

.... et j'ai repris un crayon et un papier cette fois ...

j'ai cependant fais une opération invalide ... qui la détectera ?

par **marko73** » 23 Fév 2015, 12:52

chan79 a écrit:salut
avec les trois discriminants nuls:
ax²+bx+c=x s'écrit ax²+(b-1)x+c=0 et on a (b-1)²=4ac (1)
ax²+bx+c=-5x+3 s'écrit ax²+(b+5)x+(c-3)=0 et on a (b+5)²=4ac-12a (2)
ax²+bx+c=7x-9 s'écrit ax²+(b-7)x+(c+9)=0 et on a (b-7)²=4ac+36a (3)
Dans (2) et (3), on remplace 4ac par b²-2b+1

b²+10b+25=b²-2b+1-12a
b²-14b+49=b²-2b+1+36a

après simplification
a+b=-2
3a+b=4

a=3
b=-5
et c=3

f(x)=3x²-5x+3

en gros je comprend le principe mais je ne comprend pas pourquoi pour les discriminant tu trouve (b+5)²=4ac-12a
(b-7)²=4ac+36a

moi je trouve bien (b+5)² -4ac et (b+5)²-4ac puis je passe -4ac de l'autre coté de l'équation comme toi mais je ne comprend pas d'où sort -12a et +36a. Peut tu m'éclairé ?

par **chan79** » 23 Fév 2015, 13:05

marko73 a écrit:en gros je comprend le principe mais je ne comprend pas pourquoi pour les discriminant tu trouve (b+5)²=4ac-12a
(b-7)²=4ac+36a

moi je trouve bien (b+5)² -4ac et (b+5)²-4ac puis je passe -4ac de l'autre coté de l'équation comme toi mais je ne comprend pas d'où sort -12a et +36a. Peut tu m'éclairé ?

ax²+bx+c=-5x+3 s'écrit ax²+(b+5)x+(c-3)=0

le discriminant est (b+5)²-4a(c-3)
il doit être nul (sinon il y aurait deux points d'intersection)
(b+5)²-4a(c-3)=0
(b-5)²-4ac+12a=0
Avec cette méthode, à la fin, il faut vérifier les solutions.

par **marko73** » 23 Fév 2015, 13:25

chan79 a écrit:ax²+bx+c=-5x+3 s'écrit ax²+(b+5)x+(c-3)=0

le discriminant est (b+5)²-4a(c-3)
il doit être nul (sinon il y aurait deux points d'intersection)
(b+5)²-4a(c-3)=0
(b-5)²-4ac+12a=0
Avec cette méthode, à la fin, il faut vérifier les solutions.

Dac là je vien de pigé merci beaucoup. Ta méthode est plus simple à comprendre que celle de zygomatique

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