équation trigonométrique rapide

[Bertrand Hamant]

Bonjour je dois démontrer que pour tout réel x :


cos x + sin x = V2 cos ( x - Pi / 4 )


j'ai developpé V2 cos ( x - Pi / 4 ) =


V2[ cos x cos ( Pi / 4 ) + sin x sin ( Pi / 4 )] = V2 [ V2 / 2 ( cos x + sin x ) ]

soit après simplification on obtient bien cos x + sin x = V2 cos ( x - Pi / 4 )

J'aimerais connaitre votre confirmation merci

[N_comme_Nul]

Salut !

Je te propose dans le "sens direct" :

[Bertrand Hamant]

J'aimerais savoir si ma méthode est bonne ou pas merci

[cesar]

Bonjour je dois démontrer que pour tout réel x :


cos x + sin x = V2 cos ( x - Pi / 4 )

cos(pi/4) = sin(pi/4) = 1/racine(2)

donc

cos(x) *1/racine(2) + sin(x)* 1/racine(2) = cos(x -pi/4)

grace à la formule :
cos(a-b) =cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b) ici a= x et b=pi/4

[Bertrand Hamant]

J'aimerais savoir si la méthode que j'ai employée au début est bonne ou pas merci de votre confirmation


j'ai utilisé la formule cox ( a - b ) et après simplification j'ai eu cos x + sin x

merci de me confirmer

[N_comme_Nul]

Salut !

Si seule la réponse à ta question t'intéresse, alors c'est oui.

[cesar]

c'est bien une confirmation que j'ai fait, sauf que j'ai cité la relation utilisée, ce que je te conseille de faire, car la demo n'est pas tout à fait évidente "à froid"

[Bertrand Hamant]

Merci beaucoup de votre confirmation. Oui en effet je la mettrai cesar merci pour cette subtilité. Quant à Nul, je te suis reconnaissant d'avoir utilisé une autre manière. Cependdant je sais que cos ( x - Pi / 2 ) = sin x

mais la suite je ne comprends pas comment tu as fais avec x + x. Merci encore

[N_comme_Nul]

Resalut !

J'ai utilisé une formule de trigo qui permet de transformer la somme de deux fonctions cosinus en un produit :
pour tous réels et :
[CENTER][/CENTER]

[Bertrand Hamant]

est ce possible de résoudre

cos x + sin x = 2

[Bertrand Hamant]

x = Pi / 4 je pense

[N_comme_Nul]

Salut !

Pour tout réel :
et
donc


A voir ça ... on dirait que ça pourrait exister ... mais en fait ... :hum:

[Bertrand Hamant]

j'essaye de chercher mais je ne trouve pas

on sait que le sinus et le cosinus sont compris entre 0 et 1, j'en déduis qu'il n'y pas de solutions, est ce possible

[N_comme_Nul]

Je te propose d'étudier la fonction

de dérivée

En étudiant le signe de ça sur ( est -périodique), on trouve que les extrema sont atteints en et .

Reste à calculer les valeurs de en ces points ...

[Bertrand Hamant]

Ils valent - 2 pour x = pi / 4 et 5 pi /4

j'avais trouvé


mais comment résoudre cos x + sin x = 2

on sait que V2 cos ( x - pi / 4 ) = 2

donc

on a cos ( x - Pi / 4 ) = V 2
soit
x = Pi / 4

[N_comme_Nul]

Je ne suis pas d'accord avec toi :
on trouve et respectivement pour et .

D'autre part, j'ai montré (sans les détails) que

[Bertrand Hamant]

voici comment j'ai fait


on sait aussi que V2 cos ( x - PI/4 ) = 2

ce qui équivaut à cos ( x - PI/4 ) = V2

[N_comme_Nul]

"ce qui équivaut à cos ( x - PI/4 ) = V2"

Ok :D j'ai "percuté". :marteau:
cosinus étant inférieur ou égal à 1, et racine de 2 supérieur à 1, l'équation est impossible :++:

[Bertrand Hamant]

voici comment j'ai fait


on sait aussi que V2 cos ( x - PI/4 ) = 2

ce qui équivaut à cos ( x - PI/4 ) = V2


on sait que cos ( Pi / 2 - x ) = sin x

soit 2 cos ( x - Pi / 2 ) = V 2

soit donc sin x = V2/ 2

x = Pi / 4

avec l'intervalle en dessous on a aussi 5 pi / 4

que penses tu de cette méthode Nul