Equation en TS

[chan79]

Pour l'équation , on pourrait poser le problème ainsi:
Soit la fonction de dans définie par:

1°) Quel est le domaine de définition de ?
2°) Déterminer les valeurs de x telles que .
C'est plus naturel de commencer par la question 1.
On est amené à résoudre
Si on raisonne par équivalence, il faut s'assurer qu'elles sont positives et inférieures à 5/3.
On voit par exemple que

Si on raisonne par implication, il faut voir si elles vérifient l'équation de départ, soit par exemple, est-ce que:



heureusement, les calculatrices sont là ... même si on voit que le membre de gauche est plus grand que 3*30/18=5

[zygomatique]

salut

écrire n'implique qu'une seule condition :

Et pas aussi que 5-3x>=0 ?

Car équivalente à r(x)=5-3x

résoudre l'équation

1/ condition d'existence : x >= 0

2/ solution : aucune (par définition de la racine carrée)



autre cas très proche de celui-là :



1/ condition d'existence : x >= 0

2/ résolution

par la méthode de chan : on élève au carré:



donc l'équation n'a pas de solution ....

par la méthode du changement de variable (implicite ou explicite) :



donc pas de solution

moralité on se fout du second membre


mais bien sur :

condition d'existence : x >= 0

or une racine carrée est positive et -3x - 5 >= 0<=> x =< -5/3

conclusion il n'y a pas de solution .... ni des calculs ....


c'est la même chose quand on résout l'équation

on dit :

si a >= 0 alors il y a des solution
si a < 0 alors il n'y a pas de solution

ben pour la racine carrée c'est pareil

sauf que x^2 existe pour tout réel alors que r(x) n'existe que pour les réels positifs ... et c'est seulement cela que l'on doit vérifier ...

je corrige mon msg vu la bête faute de calcul !!!





donc pas de solution ....



je crois bien que tu confonds "définition d'une fonction et résolution d'une équation ...


pour résoudre une équation :

1/ on définit le domaine de validité
2/ on résout l'équation par équivalence ou implication

et dans le cas d'implication on vérifie les solutions "possibles" !!!


reprenons : (je prends volontairement des expressions simples pour éviter de parasiter la pensée par des calculs inutiles)

résoudre l'équation :


1/ domaine de validité : celui de la fonction racine carrée : x >= 0

2/ je résous : en élevant au carré : donc (deux nombres égaux ont même carré)

3/ ayant travaillé par implication je vérifie les solutions :

par définition de la racine carrée (non seulement elle est définie pour x >= 0 (condition posée au préalable) (1) mais en plus son image est l'ensemble des réels positifs (2))

or 5 <> - 5 donc 25 n'est pas solution


bien évidemment en utilisant tout de suite la propriété (2) de la racine carrée j'aurais pu dans ce cas simple conclure directement

je pourrais agir directement avec l'équation : ou

condition d'existence : x >= 0

j'élève au carré : .... pas de solution

ce que je savais dès le départ puisque le seul cas où deux nombres positifs sont opposés c'est quand ils sont nuls et donc que la seule issue est x = 0 qui ne convient pas ...

pour la première c'est la même chose .... avec un polynome du quatrième degré malheureusement ...

mais une fois les solutions trouvées je les tests




il n'est pas question q'une valeur absolue ou une racine carrée ou une exponentielle soit négative quand on résout une équation, il est question de trouver des nombres qui conviennent (après avoir défini bien sur les conditions d'existence)

et bien sur on n'en trouve pas d'après les propriétés de ces fonctions (leur image est R+)


mais résoudre ou ou

se résout de la même façon :

1/ condition d'existence : x <> 0

2/ j'utilise des propriétés pour justifier immédiatement qu'il n'y a pas de solution

ou

j'utilise "la fonction réciproque" ou un une opération valide

pour la deuxième je veux prendre le logarithme ... ha mais je ne peux pas ... de par sa définition (en lien avec celle de exp)

pour la première et la troisième j'élève au carré (sans m'occuper des domaines de définition des opérations et de leur réciproque (je n'applique que la propriété : si deux nombres sont égaux alors leur carrés aussi qui est vrai)

pour la première x = 1/25 puis je vérifie ...

pour la troisième x² - 1/25 = 0 <=> x = 1/5 ou x = -1/5 puis je vérifie

mais puisque dans les deux cas le résultats de la vérification est positif ben les nombres trouvés ne sont pas solution ....

[Lostounet]

Bonjour Zygomatique.
Et merci de ton message bien détaillé.

Il est vrai que je confonds domaine et résolution, mais quelque part on ne peut me le reprocher.
Ce que tu fais toi: soit x solution. Il faut x>0 Alors ... alors...

Mais procéder comme je le fais n'est pas faux non plus. Au contraire ça me permet de limiter le domaine de résolution dès le départ: soit x solution (je tire des conditions plus strictes d'existence de ce x).
Ensuite: alors, alors alors... (implications). Mais ne deviennent-elles alors pas des équivalences, ce qui permet de ne pas revérifier. Bon j'accepte de rédiger comme Ben le fait pour ses équivalences.

[zygomatique]

bien sur ....

soit on fait un effort supplémentaire dès le début pour travailler avec des équivalences

soit on ne le fait pas et on travaille avec des implications ... puis on vérifie

[Ben314]

Sur le principe, je suis plutôt dans "le camp de Zygomatique".
Lorsque tu as une "expression" mathématique, a mon avis, AVANT de résoudre quoi que ce soit, il faut vérifier que "l'expression" en question est bien une "proposition" en vérifiant qu'elle est syntaxiquement correcte.
Vu qu'on parle d'équation, par exemple "(x-3)(x-5=2)" n'est pas une "proposition" (i.e. un "truc" qui est soit vrai soit faux) car la syntaxe est incorrecte (parenthèse ouvrante qui ne se referme pas à un endroit cohérent).

Et j'aurais tendance à considérer que dans l'expression , il y a une différence entre :
- Prendre x=1 où on obtient un truc "syntaxiquement incorrect" qui, a mon sens, n'est ni vrai, ni faux vu que l'expression en question ne veut rien dire.
- Prendre x=10 où on obtient un truc "syntaxiquement correct" qui s'avère être faux.

Après, ce point de vue peut éventuellement être lié à une vision plus ou moins informatique du problème : si tu tape dans un programme un truc du style :
if sqrt(x-5)=3 then print("x est solution") else print("x n'est pas solution")
tu n'aura pas le même type de réponse lorsque x=1 (-> message d'erreur) que lorsque x=10 (-> "x n'est pas solution")

[Lostounet]

Peut-être en terme de rédaction rigoureuse, c'est le camp Zygomatique qui l'emporte.

Mais bon est-ce si faux que ça et est-ce que je mérite le châtiment infernal si je dis avant de commencer la résolution pratique que déja visuellement Vx=3x-5 impose 3x-5>=0 et x>= 0
Ça semble raisonnable (mais pas super en terme de rédaction)

[anthony_unac]

Vu qu'on parle d'équation, par exemple "(x-3)(x-5=2)" n'est pas une "proposition" (i.e. un "truc" qui est soit vrai soit faux) car la syntaxe est incorrecte (parenthèse ouvrante qui ne se referme pas à un endroit cohérent).

Bonsoir,
Ceci est très intéressant, pourquoi ne pourrions nous pas considérer "(x-3)(x-5=2)" comme une équation dont la solution est S={0} vu que la syntaxe ne peut pas nous amener vers une valeur de x cohérente ?
A l'extrême de ce raisonnement, on pourrait dessiner une inconnue x au milieu d'un dessin de maternelle et considérer que cette inconnue au milieu de ce "gribouillage" constitue une équation dont la solution est S={0}

[chan79]

salut
ça se complique vite avec des inégalités et des paramètres
J'ai mis une inéquation (pas trop dure quand même) dans la sections DEFIS