Equation en TS

[steph]

bonjour
je dois résoudre une équation du type :
3x+ sqrt(x) = 5 en déterminant au préalable le domaine de définition
la résolution ne me pose pas problème mais :
si je ne considère que la racine dans l'équation , j'aurais tendance à dire que x dois être positif ou nul.
si je considère l'équation en écrivant sqrt(x) = -3x+5
je dirais que -3x+5 dois également être positif ou nul ce qui me change le domaine de définition ... ?
merci pour votre aide

[Dasson2]

Bonjour,
Une présentation.
Si rac(x)=5-3x alors x=(5-3x)²...
9x²-31x+25=0...
x=x1>5/3 ou x=x2<5/3
Si x=x1 alors 5-3x<0 et x1 n'est pas solution de rac(x)=5-3x
Si x=x2 alors 5-3x>0 et x2 est solution de rac(x)=5-3x
Conclusion : S={x2}
A vérifier...

[steph]

merci, mais ce n'est pas ça ma question.
on doit déterminer le domaine de définition avant de résoudre.
en effet , l'ensemble de définition peut changer lorsqu'on commence à résoudre.
je ne sais donc pas comment considérer l'equation au départ

[Dasson2]

"on doit déterminer le domaine de définition avant de résoudre" ?
Peut-être une confusion avec le domaine de définition d'une fonction ?
Une équation est une question et la question posée ici n'a de sens que si x>=0 et 5-3x>=0.
Revoir ma réponse précédente (corrigée).

[steph]

Merci mais je ne comprends tjrs pas.
Si par exemple je fais la résolution ln (x) + ln (-3x+5)=0
Ce n'est pas les mêmes solutions que ln (x) (-3x+5)= 0

[laetidom]

Bonjour,

Si tu n'avais que il te faudrait les conditions suivantes :

[laetidom]

mais comme en plus il te faut aussi que 5 - 3x

[chan79]

Bonjour
Ton équation s'écrit
Tu peux remarquer que x doit être positif, sinon sa racine carrée n'existerait pas.
On peut par exemple rédiger comme ça:
Si x vérifie l'équation, on x=(5-3x)² car si deux nombres sont égaux, leurs carrés le sont aussi.
donc x vérifie x=25-30x+9x²
soit 9x²-31x+25=0
=61
Ca donne donne deux solutions MAIS il faut les vérifier (car ce n'est pas parce que deux nombres ont le même carré qu'ils sont égaux).
On peut rédiger autrement.

[steph]

Merci pour vos réponses et cette visualisation. Ça devient plus clair !

[laetidom]

Merci pour vos réponses et cette visualisation. Ça devient plus clair !

Contents d'avoir été utiles !

[Ben314]

Salut,
A mon avis, il y a (au moins) deux façons de procéder :

1) On peut procéder comme le fait chan79, voir même, si on veut, éviter les vérifications finales on peut procéder par équivalence tout le temps. A mon avis, il est assez utile de savoir faire les deux : procéder par implication + vérification à la fin pour éliminer les solutions "parasites" liées aux implication qui ne sont pas des équivalences OU BIEN procéder entièrement par équivalence.
De toute façon, il faut commencer par écrire que, pour que l'équation ait un sens, il faut que x soit positif ou nul.
Ensuite, en procédant par équivalence, on écrirait que, pour tout positif ou nul, on a :

Ce qui signifie bien que les solution de l'équation de départ sont exactement les solutions de qui sont et qui sont

2) Sinon, il y a une autre méthode qui me semble plus simple (discutable...), c'est de faire un changement de variable en disant que l'on pose , c'est à dire .
Avec ce point de vue, ce n'est plus vraiment la peine d'écrire que doit être positif ou nul vu qu'au final quand on calculera on trouvera forcément un nombre positif ou nul, mais par contre, il faut écrire que, comme on a posé , on cherche un .
Avec ce changement de variable, l'équation de départ s'écrit qu'il suffit de résoudre et on ne conserve que la/les solutions .

[zygomatique]

salut

écrire n'implique qu'une seule condition :

puisque x est positif il est le carré de sa racine carrée et donc l'équation est équivalente à qui est un trinome du second degré en

ben314 fait explicitement un changement de variable mais celui-ci n'est pas nécessaire ...

la résolution du trinome conduit à

la définition de la racine carrée conduit à éliminer une réponse ...

et la solution obtenue est bien positive puisque le carré de +...




quand on isole la racine carrée et qu'on élève au carré on perd l'information que x >= 0 ... et on ajoute éventuellement des solutions puisque deux nombres opposés ont même carré

on a donc une condition nécessaire sur x ... mais pas suffisante ...

[Lostounet]

salut

écrire n'implique qu'une seule condition :

Et pas aussi que 5-3x>=0 ?

Car équivalente à r(x)=5-3x

[chan79]

Ensuite, en procédant par équivalence, on écrirait que, pour tout positif ou nul, on a :

Ce qui signifie bien que les solution de l'équation de départ sont exactement les solutions de qui sont et qui sont

Je crois qu'il manque des 9, par-ci par là mais bel effort pour l'écriture en tex

[zygomatique]

salut

écrire n'implique qu'une seule condition :

Et pas aussi que 5-3x>=0 ?

Car équivalente à r(x)=5-3x

résoudre l'équation

1/ condition d'existence : x >= 0

2/ solution : aucune (par définition de la racine carrée)



autre cas très proche de celui-là :



1/ condition d'existence : x >= 0

2/ résolution

par la méthode de chan : on élève au carré:



donc l'équation n'a pas de solution ....

par la méthode du changement de variable (implicite ou explicite) :



donc pas de solution

moralité on se fout du second membre


mais bien sur :

condition d'existence : x >= 0

or une racine carrée est positive et -3x - 5 >= 0<=> x =< -5/3

conclusion il n'y a pas de solution .... ni des calculs ....


c'est la même chose quand on résout l'équation

on dit :

si a >= 0 alors il y a des solution
si a < 0 alors il n'y a pas de solution

ben pour la racine carrée c'est pareil

sauf que x^2 existe pour tout réel alors que r(x) n'existe que pour les réels positifs ... et c'est seulement cela que l'on doit vérifier ...

[Lostounet]

Sorry mais je suis pas trop d'accord.
Après bien entendu tout dépend de ce que tu appelles conditions d'existence. Pour moi Vx=-5 est tout aussi gênant que V(-5)

D'ailleurs si tu avais ln(x)=Vx à résoudre, dire que x>0 n'est pas optimal pour que ça ait un sens (ie pour moi que ça existe) mais bon. C'est toi le prof :p

D'ailleurs on peut s'affranchir de ce débat en procédant proprement par équivalences comme Ben le fait et qui ne laisse pas de place au doute.

[zygomatique]

en quoi est-il gênant de résoudre l'équation

c'est la même chose que résoudre l'équation

la seule condition pour que l'écriture ait un sens c'est que

ensuite je résous l'équation ...

ho super une valeur absolue n'est pas strictement négative .... donc c'est vite résolu ...

sinon que j'ai -5 ou 5 j'élèverais au carré, je résoudrais l'équation et bien sur je vérifierais les solutions ...

[zygomatique]

le pb n'est pas tant de s'affranchir ou pas de ce débat, il est de réfléchir sur des conditions nécessaires, suffisantes, nécessaires et suffisantes pour résoudre un pb ... et c'est toujours riche pour apprendre à travailler avec rigueur ....

[Lostounet]

la seule condition pour que l'écriture ait un sens c'est que

..

Ben... déjà pour moi une valeur absolue négative n'est pas une écriture qui a un sens...
Enfin je comprends ton point de vue mais je vois pas en quoi le mien n'est pas le bon à avoir.

Pour toi dès que les fonctions sont définies pour certains x tu dis que ça a un sens tu ne tiens compte de leurs interactions que lorsque tu résous. Pour moi j'essaye autant que possible de limiter le domaine et de confronter les fonctions afin de dégager des contraintes optimales sur x.

[anthony_unac]

Bonjour,
Dans la continuité de ce débat, j'ajouterai qu'il est possible d'écrire une équation qui n'a pas de solution (pour laquelle x n'à pas de sens ou n'existe pas).
On pourrait très bien imaginer un exercice type résoudre dans l'équation :


Une exponentielle est toujours positive mais l'exercice est ainsi posé