Équation du style x=12-sqrt(12-sqrt(x))

[Olympus]

Bonsoir !

Résoudre dans l'équation suivante ( il n'y a que deux élèves du lycée qui l'ont résolu : moi et un autre mec en seconde ) :



Encore une autre équation ( tirée de la dernière olympiade de maths que j'ai passé ) que j'ai résolu graphiquement ( en montrant que les courbes sont en intersection ) et algébriquement ( en prenant les fonctions représentées par les courbes, qui me conviennent bien sûr comme j'aurai 3 courbes, une , et , graphiquement je tire l'équation et ses solutions sont les mêmes que celle de départ, à savoir, x=9 ) .

Possible de la résoudre de façon purement algébrique ? Si oui, vous n'auriez pas quelques indications ?

Merci !

[Zweig]

Salut,

On pose . Tu veux résoudre , c'est-à-dire déterminer tous les points fixes de . Remarque que si est un point fixe de , alors il l'est aussi pour .
En effet : . On résout donc dans un premier temps . C'est une équation du second degré (pose ) et tu trouves que l'unique solution est .
Je n'ai pas fait les calcul, mais pour trouver les 3 autres, cherches les racines évidentes en te ramenant à une équation du quatrième degré.

[Zweig]

Bon sinon tous tes post "olympiques", tu peux les poster dans Lycée, ça n'a pas vraiment sa place dans le Supérieur ...

[Zweig]

Un conseil : arrête avec tes "preuves" graphiques pour les Olympiades ... Si tu vises les Olympiades Internationales par exemple, sache que les calculatrices sont prohibées, et c'est tant mieux :++:.

[Zweig]

On pose . Tu veux résoudre , c'est-à-dire déterminer tous les points fixes de . Remarque que si est un point fixe de , alors il l'est aussi pour .
En effet : . On résout donc dans un premier temps . C'est une équation du second degré (pose ) et tu trouves que l'unique solution est .

**suppr***

[Zweig]

On pose . Tu veux résoudre , c'est-à-dire déterminer tous les points fixes de . Remarque que si est un point fixe de , alors il l'est aussi pour .
En effet : . On résout donc dans un premier temps . C'est une équation du second degré (pose ) et tu trouves que l'unique solution est .

Après deux élévations au carré tu arrives à . Comme divise ce dernier polynôme, une division polynôminale nous donne

En faisant la liste des premiers diviseurs positifs de 1936 et en les testant on trouve que 16 est solution. Une dernière division permet de montrer, après étude du discriminant du trinôme du second degré obtenu, que l'équation n'admet pas plus de solutions.

C'est moche, mais ça marche.

[Olympus]

Merci, c'est bien f(x)=x que j'avais aussi graphiquement :we:

La dernière partie est effectivement moche :hum: ( tu ne disais pas qu'aux IMO "les calculatrices sont prohibées" ? ) .

Sinon, vous n'auriez pas quelques exercices de la forme ? Enfin, là où c'est "récursif" ( je ne sais pas si le terme est bon ) .

[Zweig]

Sauf qu'aux OIM les exercices sont faits de telle manière que les calcules à entreprendre sont faciles, enfin, ils ne nécessitent pas de calculatrice.

Oui, j'en ai :

1) Soit un réel donné. Résoudre dans :

2) Soit un réel donné. Résoudre dans :

3) Soit un réel donné. Résoudre dans :

[Olympus]

Sauf qu'aux OIM les exercices sont faits de telle manière que les calcules à entreprendre sont faciles, enfin, ils ne nécessitent pas de calculatrice.

Oui, j'en ai :

1) Soit un réel donné. Résoudre dans :

2) Soit un réel donné. Résoudre dans :

3) Soit un réel donné. Résoudre dans :

Merci, je sens que je vais être bien armé pour les olympiades de ce Vendredi

[Zweig]

Bonne chance !

[Olympus]

Dois-je déterminer a aussi dans la première équation ? Sinon j'ai trouvé et . Mais est négatif ( sauf si a n'est pas strictement supérieur à 0 ) et ne pourra donc pas être pris comme solution .

Est-ce bien ça ?

[Olympus]

Ah non c'est faux ( je viens d'essayer avec a=2 ) ...

Quelqu'un pourrait-il me dire où est l'erreur dans mon raisonnement ?

On pose .
Donc l'équation de départ devient :

On pose
Car ( remarque : x est positif selon l'équation de départ )

Donc on va résoudre

[Olympus]

D'accord je vois où est l'erreur :


Je vais essayer de trouver une autre définition correcte de la fonction f ...

[Olympus]

Ah non c'est bien ça la solution, Wolfram me donne la même chose : http://www20.wolframalpha.com/input/?i=x%3Dsqrt(a-sqrt(a%2Bx)) .

Il a déterminé a et x, hum peut-être que je vais faire pareil ... je vous tiendrai au courant .

[Zweig]

est un réel donné et est l'inconnue. Ainsi tu n'as pas à déterminer , c'est comme si prenait une valeur particulière. Mais là on raisonne dans le cas général, donc doit être exprimé en fonction de , nécessairement.

Tes solutions sont fausses. Les solutions sont .

[Olympus]

est un réel donné et est l'inconnue. Ainsi tu n'as pas à déterminer , c'est comme si prenait une valeur particulière. Mais là on raisonne dans le cas général, donc doit être exprimé en fonction de , nécessairement.

Tes solutions sont fausses. Les solutions sont .

D'accord merci, donc je refais, sinon tu pourrais confirmer si c'est bien où se situe l'erreur ?

( PS : x doit être obligatoirement positif, non ? donc pourquoi le plus ou moins ? )

[Zweig]

Tu trouves deux solutions, mais oui, une est à jeter. Pour ta réponse, je ne comprends pas trop ce que tu fais à vrai dire ...

[Olympus]

On pose .
Donc l'équation de départ devient :

On pose
Car ( remarque : x est positif selon l'équation de départ )

Donc on va résoudre

C'est de ce raisonnement ( si on peut l'appeler ça ) dont je parlais ^^'

[Olympus]

Bon je bloque vraiment, j'ai essayé avec tous les moyens et je tombe toujours sur et c'est exactement la même solution que me donne Wolfram si je ne lui précise pas que .

Mais si je donne à Wolfram ton équation + , il me donne effectivement ta solution ...

Je soupçonne la ligne ( ou alors celle-ci et ) .

[Olympus]

Bon je pose ma question autrement, est-ce bien jusque ?

Est-ce que le simple fait que garde l'égalité précédente suffit pour conclure que c'est une définition correcte ?

No one ?

Merci !

PS : je m'excuse si c'est considéré comme du flood ...