Équation Spé

[Hlb28]

Bonjour à tous, j'aurais besoin d aide pour une équation svp

"Trouvez les entiers n tq
n^5-2n^4-7n^2-7n+3=0 "

J ai commencé par dire que cela était équivalent à
3=-n^5+2n^4+7n^2+7n
Et je pensais dire que n|3 ou Que
(-n^4+2n^3+7n+7)|3 mais après je vois pas trop
Merci d avance !

[Pseuda]

Bonjour,

Eh bien alors n|3, et c'est tout. Il n'y a pas de n|3 ou ... l'autre (trop compliqué).

[laetidom]

Salut,

Je trouve sur le graphe 2 racines entières (-1 ; 3) qui nous fait passer de degré 5 à 3.

En effet,

[Pseuda]

Avec n|3, cela ne fait pas beaucoup de cas à examiner...

[Hlb28]

Oui oour n|3 on étudie -1,1,-3,3
Mais pourquoi on élimine l autre cas ?

[Pseuda]

Parce que c'est inutile une fois qu'on tient n|3, qui simplifie notablement le nombre de cas à examiner. Dès lors on peut finir en faisant l'inventaire.

pq=3 => p|3 (c'est vrai) ; mais ab=0 => a=0 ou b=0 (a=0 seul est faux)

Je veux dire par là : pq=3 => p|3 et q|3, mais p|3 est suffisant pour conclure.

EDIT : on peut faire avec l'autre cas, mais cela complique inutilement

[Pseuda]

Salut,

Je trouve sur le graphe 2 racines entières (-1 ; 3) qui nous fait passer de degré 5 à 3.

En effet,

C'est une autre façon d'aborder le problème . Il faut encore examiner si ne donne pas de solutions entières (je veux dire par là que le graphe peut aider à trouver des solutions pour factoriser, mais ne prouve pas qu'on a bien toutes les solutions entières).

Et ce dernier cas est facile à examiner.

[laetidom]

Merci Pseuda,

J'avais bien vu ce que tu me dis et c'est pour cela que j'ai laissé la main . . . merci !

rq : ne donne en effet pas de solution entière !

[laetidom]

Pour mon info, que signifie votre expression ? :

[Hlb28]

n|3 c'est pareil que n divise 3

[Hlb28]

Mais pourquoi peut on on dire si a pq=3 alors p|3
Comment sait on qu on ne passe pas a côté d autre cas en éclipsant le cas où q|3

Fin je comprends pas pk le cas q|3 est inutile

[Pseuda]

Merci Pseuda,

J'avais bien vu ce que tu me dis et c'est pour cela que j'ai laissé la main . . . merci !

rq : ne donne en effet pas de solution entière !

Oui car on aurait . Donc n divise 1, c'est -à-dire que les seules possibilités pour n sont 1 et -1, et ces 2 solutions ne vérifient pas l'équation .

[Pseuda]

Mais pourquoi peut on on dire si a pq=3 alors p|3
Comment sait on qu on ne passe pas a côté d autre cas en éclipsant le cas où q|3

Fin je comprends pas pk le cas q|3 est inutile

Car on a : pq=3 => p|3 et q|3, et p|3 est suffisant pour conclure car il suffit à lui seul pour donner toutes les solutions possibles : on peut se passer du q|3, et de plus, on ne risque pas d'oublier des cas en le laissant tomber.

Effectivement si on avait eu : pq=3 => p|3 ou q|3 (attention c'est faux), alors là oui, on aurait pu éclipser des cas avec q|3.

Par exemple, et , et la 1ère inégalité est inutile pour conclure à

[laetidom]

Merci Pseuda,

J'avais bien vu ce que tu me dis et c'est pour cela que j'ai laissé la main . . . merci !

rq : ne donne en effet pas de solution entière !

Oui car on aurait . Donc n divise 1, c'est -à-dire que les seules possibilités pour n sont 1 et -1, et ces 2 solutions ne vérifient pas l'équation .

d'accord,

rq : ? (je ne connais pas cette notation)

[Hlb28]

D'accord merci bcp Pseuda !

[Pseuda]

d'accord,

rq : ? (je ne connais pas cette notation)

On est dans l'arithmétique des entiers (positifs ou négatifs).

Pour n entier, n|3 signifie qu'il existe q entier, tel que 3 = n*q