équation de médiatrice

[fandreoni]

Bonjour, un petit souci avec cet exo
Soient les points A(1;1) B(5;3) et C(0;6)
Déterminer les équations de médiatrices de AB et BC
Dans un premier temps j'ai calculé le milieu de AB(3;2)
puis (en suivant le début de cours que j'ai!) vectAB(4;2)
Malheureusement le cours s'arrête là ...
Merci pour un petit coup de pouce !!

[annick]

Bonjour,
deux façons de faire :

1) en utilisant les équations de droites : tu calcules l'équation de la droite (AB), puis l'équation de la droite perpendiculaire à (AB) qui passe par I milieu de [AB]

2) en utilisant les vecteurs : tu calcules les coordonnées du vecteur AB et celles du vecteur MI (M étant un point (x,y) de la médiatrice (MI) de [AB]. Puis tu dis que ces deux vecteurs sont perpendiculaires et que leur produit scalaire est donc nul.

Pour le choix de la méthode, tout dépend de ce que tu as déjà vu dans ton cours et sur quel chapitre tu travailles en ce moment.

[fandreoni]

En fait on n'a pas de cours dessus, et cet exo; c'est pour m'entrainer pour un contrôle demain (mais il n'a pas été corrigé!)
Donc si je fais la 1ère méthode, pour l'équation de AB je trouve y = 4/3x - 1/3 mais je coince sur la suite ..
Avec la 2Eme vectAB(4;2) vectMI(3-xm;2-ym) mais pour la suite ça coince aussi !!

[annick]

Bon, je reprends la première méthode car je ne trouve pas la même équation pour (AB) que toi :

y=ax+b
1=a+b
3=5a+b

-1=-a-b
3=5a+b

2=4a
a=1/2

1=1/2+b
b=1-1/2=1/2

y=1/2x+1/2

coefficient directeur= 1/2

Lorsque deux droites sont perpendiculaires, le produit de leurs coefficients directeurs égale -1

aa'=-1
a=1/2
a'=-2

Equation de la médiatrice :

y=-2x+b

passe par I(3,2)

2=-6+b
b=8

y=-2x+8

Deuxième méthode avec les vecteurs :

Vec AB (4,2)
Vec IM (x-3,y-2)

Les vecteurs sont perpendiculaires donc XX'+YY'=0

4(x-3)+2(y-2)=0
4x-12+2y-4=0
2y=-4x+16

y=-2x+8

On retrouve bien la même équation.

La deuxième méthode est plus simple et plus rapide

[fandreoni]

ok donc pour l'équation de la médiatrice de BC :
vectBC(-4;3)
I milieu de BC(5/2;9/2)
vectIM(x-5/2;y-9/2)
-4(x-5/2)+3(y-9/2)
3y=4x+7/2

[annick]

Pour moi, BC(-5,3), d'où la suite un peu différente :

3y=5x+1

y=5/3x+1/3

[fandreoni]

Exact !! Un grand merci car j'ai compris !!
Dans une autre question on me demande cette fois les équations des 2 hauteurs du triangle ABC, pouvez vous encore me guider ?

[annick]

Et tu as quoi comme données ?
Sinon, tu ne m'as pas dit quel était le chapitre plus particulier sur lequel vous travaillez en ce moment. De le savoir oriente parfois la réponse que l'on peut te donner car comme tu l'as vu précédemment, il y a parfois plusieurs méthodes possibles.

[fandreoni]

C'est la suite du même exo donc avec A(1;1) B(5;3) et c(0;6)
En fait on a vu les équations de droite, le centre de gravité du triangle, la distance entre 2 pts

[annick]

On peut reprendre les deux méthodes précédentes :

Equation de la hauteur [AH]:

AH(x-1,y-1) CB(5,3)

Produit scalaire AH.CB=0 car (AH) perpendiculaire à (BC).

5(x-1)+3(y-1)=0
5x-5+3y-3=0
3y=-5x+8
y=-5/3x+8/3

De même pour les autres.

Mais, au fait, as-tu bien vu aussi l'histoire du produit scalaire nul lorsque les vecteurs sont perpendiculaires dans ton cours ? Sinon, tu reprends la méthode traditionnelle des équations de droites : tu cherches l'équation de (BC), tu trouves le coefficient directeur de la droite que tu cherches avec aa'=-1 et tu trouves l'équation de ta hauteur avec les points A(1,1) et H(x,y).

De plus, si tu fais le graphique, tu dois pouvoir vérifier que tes résultats sont justes (rapide si tu utilises la calculatrice graphique)

[fandreoni]

Le produit scalaire n'est pas mentionné dans mon cours mais le prof nous a donné un formulaire de géométrie avec les droites d'équations .... sont perpendiculaires si aà + bb' = o
mais comme on n'a pas vu d'exos avec ça je ne savais pas l'appliquer !
Donc je trouve CH(x-0;y-6)
vectAB(4;2)
... y=-2x+6
et BH(x-5;y-3)
vectAC(1;-5) .... -5y=-x-10 la un petit doute pour simplifier y=1/5x+2

[annick]

J'ai l'impression qu'il y a une petite erreur de signe : 5y=x-10 donc y=(x/5)-2

[fandreoni]

Tout à fait
Un immense merci pour le temps consacré !! car sans ces explications pas évident de comprendre
Bonne après-midi

[annick]

ça été avec plaisir car on sentait que tu cherchais à comprendre.
Bonne après-midi à toi aussi et peut-être à une autre fois sur un nouveau sujet.