Equation de maths avec racines carrées

[laetidom]

Oui mais cela veut dire que dès la première ligne tu suppose que les deux parties de l'équation sont égales ===> Non justement car j'ai mis le symbole (je n'ai pas mis = exprès !), alors que justement c'est une vérification donc on ne le sait pas.===> bien sûr qu'on ne le sait pas, c'est pour cela qu'il y a le ? au-dessus du =, sinon pourquoi avoir inventer ce nouveau symbole ? ? ?
A la fin cela aurait pu donner quelque chose de genre V52 = V104 si on s'était trompé de solution...

Bonjour,

D'où le symbole jusqu'à l'avant dernière ligne et à la dernière ligne on constate bien l'égalité !

Bonne journée.

P.S : Je sais très bien que n'est pas un symbole mathématique ! Mais je pensais que tout le monde comprendrait ce qui n'est pas le cas (sauf chan), ça n'est pas grave donc j'ai repris ma vérification dans un post ci-après.

[laetidom]

ce n'est pas ainsi qu'on effectue une vérification : on calcule le second membre et on calcule afin de tomber sur le second membre ...

Ah ? Perso, j'accepterais cette vérification. Le première ligne est vraie puisqu'elle équivaut à

Merci chan, je le pense aussi.

[laetidom]

J'aurais dû l'écrire comme cela si je comprends bien zygomatique . . . ? :

Pour vérifier si est bien solution, calculons la quantité suivante et vérifions si elle est égale à :















=====> Ce qui est le cas, donc est bien solution !

(j'avais employé le symbole en espérant que tout le monde comprennent ce que je viens de ré-écrire juste ci-avant, mais il est vrai que si l'on veut être puriste (et en maths c'est bien vu !) si j'emploie un symbole non mathématique c'est pas bon ! Mais alors pourquoi ce symbole, quand l'emploie t'on ? . . . ici, s'il n'est pas officiel mathématiquement parlant ? . . . merci d'avance pour tout éclairage !)

[Ben314]

Juste pour dire que, comme chan, sur le principe, ça me dérange absolument pas d'utiliser un =?
Ici, je l'aurais sans doute pas fait vu qu'un des deux termes est "simple" donc qu'il suffit à priori de "simplifier" l'autre terme, mais dans le cas de cet autre thread où la question est :
Montrer que sachant que .
Je me générais surement pas pour "partir du résultat" (i.e. utiliser un =?) vu que ça rend le truc complètement trivial alors que si on doit partir d'un des deux cotés pour arrive à l'autre, c'est passablement moins évident.

En plus, perso, j'ai tendance à considérer que ce =? c'est celui que l'on utilise systématiquement lorsque l'on résous des équations. Lorsque l'on écrit par exemple l'équation x²-4x-5=0, en fait la formulation complète est
Quels sont le(s) x tels que x²-4x-5=0 ? Avec un point d'interrogation à la fin
Et vu que lorsque l'on fait des "calculs" sur cette équation, a priori on considère x comme "quelconque", a mon sens, une autre façon d'écrire la même chose, c'est :
Soit x un réel quelconque donné. Est-il vrai (en fonction de x) que x²-4x-5=0 ?
Et la deuxième phrase, à mon sens, correspond tout à fait à un =?

[laetidom]

Merci Ben pour toutes ces bonnes précisions !

[chan79]

PS : je prends volontairement des nombres triviaux pour pas m'emmerder avec des calculs sans intérêt ...)

le triangle de dimension 1, 2 et 3 est-il rectangle ?

démonstration classique :

Si je me souviens bien, on demandait aux élèves de troisième de faire deux calculs séparés et si les résultats sont les mêmes, de conclure que le triangle est rectangle. C'est parce qu'ils ne maîtrisent pas le raisonnement par équivalence.
Mais au lycée, comment rédiger:
"Déterminer les réels tels que, un triangle de côtés est rectangle ?"

[Ben314]

C'est parce qu'ils ne maîtrisent pas le raisonnement par équivalence.

A mon avis, c'est d'ailleurs pour ça que c'est pas con le coup du =?.
Si tu explique à un élève qu'on peut évidement écrire que :
Je me pose la question de savoir s'il est vrai ou pas que ??? = ???
Ce qui revient à se demander si ??? = ???
Ca me semble une très bonne façon d'introduire naturellement la notion d'équivalence : on sait pas si les ??? =??? sont vrais ou faux, mais par contre, ils "disent la même chose".

Sans parler du fait qu'il me semble quand même que, dans la "vie de tout les jours", on peut pas dire que ce soit un raisonnement "super tarabiscoté" : avant de répondre à une question, on commence par la formuler de façon différente pour clarifier le problème (j'ai pas d'exemple en tête, mais ça doit se trouver plus que facilement...)

A mon avis (toujours...) LE énorme problème, c'est qu'il faudrait que les élèves comprennent que ce qu'ils font en math, en terme de raisonnement, ben c'est on ne peut plus proche des "raisonnement de la vie de tout les jours".
Sauf qu'à l'heure actuelle pour beaucoup d'élèves, ce qu'ils font en math. c'est du "charabia" et autres "formules magiques" qui n'a absolument aucun rapport avec une quelconque forme de raisonnement au sens "vie courante" de ce terme de "raisonnement". Je sais plus où j'avais lu que, lorsqu'ils rentrent dans une salle de cours de math., ben le "bon sens" qu'ils ont tous plus ou moins, ben il reste sur le pas de la porte...

[laetidom]

Sauf qu'à l'heure actuelle pour beaucoup d'élèves, ce qu'ils font en math. c'est du "charabia" et autres "formules magiques" qui n'a absolument aucun rapport avec une quelconque forme de raisonnement au sens "vie courante" de ce terme de "raisonnement". Je sais plus où j'avais lu que, lorsqu'ils rentrent dans une salle de cours de math., ben le "bon sens" qu'ils ont tous plus ou moins, ben il reste sur le pas de la porte...

Bien dit.

[zygomatique]

Ben314 : je me permets de ne pas être d'accord en toute modestie ...

pour le premier exemple :

on veut prouver que A(x) = B(x) sachant que x vérifie une certaine propriété P(x)

je calcule A - B et en utilisant l'hypothèse je prouve que cela fait 0
et j'aurais prouvé que A = B ...

plus précisément je veux prouver que

que je note (*)

alors : (+)

ceci est vrai pour tout a dont le carré n'est pas 1/4

(*) est donc vraie pour tout a dont le carré n'est pas 1/4

en particulier (*) est vraie pour , et 0 par exemple

puisque F => F est vraie

et je peux donc écrire

bien entendu si P(a) est vraie alors Q(a) est vraie comme le montre (+) car alors le carré de a n'est pas 1/4 et V => V est vraie

dans cet exemple on ne cherche pas a


ce qui n'est pas le cas du deuxième exemple :

quels sont les x tels que ? (je change l'équation pour avoir des racines évidentes)

ou de façon équivalente : résoudre l'équation (#)

ici on cherche les réels vérifiant une certaine propriété ou encore on cherche les réels x tels que (#) soit vraie

et cette fois ci si je ne prends pas x = 1 ou x = 4 alors l'égalité (#) est fausse


bien sur je suis curieux d'entendre ton argument et savoir si mon raisonnement pèche quelque part et pourquoi

merci par avance




au collège j'ai appris que pour montrer que a = b je disposais des outils suivants :

1/ calculer a - b et par transformations arriver à 0 : a - b = ... = ... = 0 donc a = b

2/ partir de l'un et par transformation valides mathématiquement arriver à l'autre : a = ... = ... = b donc a = b

3/ partir de chacun et par des transformations valides arriver à un même troisième : si a = ... = c et b = ... = c alors a = b

en général ce que j'appelle transformations : c'est développement factorisation ou autres comme je l'ai fait pour l'exemple 1

4/ par la suite j'ai vu un autre moyen : si f est une application bijective (injective) et si f(a) = f(b) alors a = b

[Ben314]

zygomatique, en ce qui me concerne, ce n'est pas du tout un problème de rigueur, donc dans la façon que tu as de rédiger je de dirais surement pas qu'il y a quoi que ce soit qui "pèche" quelque part.
C'est un problème de pédagogie.
Par exemple la ligne où tu démontre l'équivalence où tu part du truc connu pour arriver à celui qu'on doit démontrer de façon à ce que tes différent = ne soit pas des =? mais des "vrais =", ben on va dire que je la trouve pas mal "artificielle", c'est à dire que ça me semble bien plus "naturel" si on l'écrit les égalités dans l'autre sens en partant de la dernière (avec un =?) jusqu'à la première où on conclue que les égalités sont en fait vraies vu l'hypothèse faite.
Et, bien évidement, au niveau formel, ça ne change absolument rien vu que P<=>Q c'est la même chose que Q<=>P.
De même toute la suite concernant les implications, je suis d'accord sur le fait que c'est parfaitement juste au niveau logique.

Bref, je le redit une deuxième fois : la notion d'équivalence, ça semble (vu les élèves actuels) être considéré comme "compliqué" et je pense que, pédagogiquement parlant, on pourrait l'introduire (au collège) à travers cette notion de =? qui correspond selon moi à dire que telle question (dont on ne connait pas encore la réponse Vrai/Faux) c'est en fait la même que telle autre question (dont on ne connait pas non plus la réponse).

Sinon, concernant le "vécu" du collège, en ce qui me concerne, ça date (beaucoup), mais le vague souvenir que j'en ait, c'était plutôt sous la forme qu'on me donnait des outils (=cours), de très nombreux exemples d'utilisations de ces outils (=exercices), mais qu'on me laissait parfaitement libre d'utiliser ces outils à ma guise.
C'est à dire qu'il n'y avait pas de liste exhaustive (comme la tienne) des méthodes à appliquer dans tel ou tel cas et que les exercices "difficiles", ça consistait justement à trouver une nouvelle façon de se servir d'un outil connu.

P.S. : Au niveau vocabulaire, visiblement je ne l'emploie pas dans le même sens toi : pour moi la liste que tu donne, ce ne sont pas des "outils", mais des "méthodes".
Pour moi, les "outils" (dans ce type de contexte), c'est la commutativité de +, la distributivité de x sur +, etc...
(ne pas perdre de vue que tout ça, le moins qu'on puisse dire, c'est que c'était pas enseigné comme aujourd'hui...)

[zygomatique]

ce que j'appelle "outils" : c'est effectivement dans le cas présent des méthodes ...

j'appelle en général outil toutes méthodes ou théorèmes ou formules (comme les identités remarquables par exemple ou les formules de dérivation) (qui se trouvent dans "mon" cours pour les deux derniers ou acquises par la pratique pour les méthodes)

évidemment je n'avais pas une liste exhaustive de ces méthodes dans "mon" cours car comme je l'ai dit elles me furent "révélées" au fur et à mesure de mon apprentissage

par contre ce que tu appelles outils j'appelle plutôt cela les règles du jeu : les propriétés des opérations, la distributivité, ...


pour revenir au débat :

dans la ligne d'équivalence j'aurais très bien pu ne mettre que des implications bien sur ...

alors : (+)

mais j'ai mis des équivalences puisqu'elle sont vraies (modulo le quotient non nul bien sur)

et sinon pour revenir à ce pb de =? alors à ce moment là autant continuer à travailler avec rigueur en travaillant toujours par condition suffisante :

pour avoir ... il me suffit que ...

et écrire à ce moment là :

alors : (*)

en lisant dans l'autre sens ben les flèches sont dans l'autre sens ...

c'est de plus très formateur et riche quand on travaille les limites ou la continuité pour trouver le n dépendant du epsilon :

et la partir de la fin avec la bonne flèche alors là je suis d'accord


parce que travailler avec un =? et des équivalences implicites (la flèche <=> n'est pas écrite bien que l'élève travaille avec) conduit alors à prouver que F <=> F (comme avec l'exemple du triangle rectangle que je donnais avant) ... et on n'a rien prouvé ... ou alors il faut faire une conclusion/interprétation très correcte de cette suite d'équivalences

ce me semble-t-il ...


REM : puisqu'on a remis au gout du jour "la logique" je préfère travailler ce genre de chose : condition nécessaire et/ou suffisante avec des exemples élémentaires comme :

exemple : quelle proposition est vraie :

x < 2 => x < 4
x < 5 => x < 4
...


on remarquera que : x < 2 => x < 4 se lit de deux façons différentes :

pour avoir x < 4 il suffit d'avoir x < 2
pour que x soit inférieur à 2 il est nécessaire que x soit inférieur à 4


les élèves ont beaucoup de mal ....