Equation Inéquation de trigonométrie niveau 1er S1

[jo6280]

Bonjours à tous,j'ai un exercice a faire pour la rentré sur une leçon que je n'ai pas assimilé du tout c'est la trigonométrie,je ne comprends pas vraiment l'histoire des 2pi a mettre a la fin du calcul et tout sa donc je n'aarive pas a faire mon exercice,votre aide me fera le plus grand bien lol ^^

R&soudre les équations suivantes dans l'intervalle I.Représenter les point associés aux solutions sur le cercle trigonométrique.
a) cos x = - 1/2 I= ]-pi;pie]
b) sin x = racine 3 / 2 I= ]-pi;pie]
c) cos x = racine 2 / 2 I = [0;2pi[
d) sin x = - racine 2 / 2 I = [0;2pi[

[jo6280]

Quelqu'un pourrait m'aider ???

[Benjamin]

Bonjour,

Rajouter les 2*PI à la fin vient de la périodicité des fonctions trigonométriques, périodicité de 2*PI justement. Ainsi, quand cos(x)=y, tu as encore cos(x+2*PI)=y, cos(x+2*pi+2*pi)=cos(x+4*pi)=y ect....
En fait, pour tout k entier relatif, si cos(x)=y alors cos(x+k*2PI)=y.
C'est la définition même de la périodicité.

Quand une fonction est périodique, tu as donc une infinité de solution à une équation. C'est pour celà qu'on restreint le domaine, pour ne garder qu'une solution.

Concrètement, pour résoudre, tu pars d'une solution que tu connais. Exemple : résoudre cos(x)=0 sur ]-2Pi;0].
On sait que cos(PI/2)=0, donc PI/2+k*2PI est solution, pour tout entier k (au vue de la périodicité énoncée plus haut).
Il reste à trouver la valeur de k qui améne la solution dans le bon intervalle.
Ici, si tu fais k=-1, tu tombes sur x=-3PI/2, ce qui se trouve dans le bon intervalle.

Voilà, j'espère que tu as compris.

[jo6280]

J'ai compri l'histoire des 2PI merci ^^ en même temps j'ai regarder mon cercle trigonométrique
Mais la 2éme partie reste flou :triste: mais je vais la relire encore plusieus fois pour me forcer à comprendre ^^
Je te dis si j'ai compris dans quelque minutes

[jo6280]

Si je comprend bien il faut commencer par remplacer le x par pi/2 car sa ne change rien a la valeur, ensuite on met au dénominateur 2+k*pi et après on trouve la valeur de k

Donc pour mon exercice sa fait

cos x = - 1/2 I= ]-pi;pie]
cos pi/(2+k*pi) = -1/2
si k=-1 cos pi/(2-1pi) = - 1/2
ce qui fait cos -1/2 = -1/2

c'est sa ou je me trompe complétement ?

[Benjamin]

Oula, tu n'as rien compris non en effet.
Le +2*kPI n'est pas au dénominateur.
En fait, tu n'as aucun moyen de résoudre par le calcul. Ce n'est pas comme 3*x+2=5 donc x=1.

Le problème n'est pas trouvé UNE valeur, mais LA valeur.
On connait les valeurs remarquables : cos(0)=1, cos(PI/6)=rac(3)/2, cos(PI/4)=rac(2)/2, cos(PI/3)=1/2, cos(PI/2)=0.

La démarche est plus sur l'unicité de la solution. On a vu qu'il y avait en fait une infinité de solution. Il faut donc trouver la solution qui est dans l'intervalle demandé. Je reprends donc mon exemple.

Résoudre cos(x)=0 sur ]-2Pi;0]
On cherche une solution, n'importe laquelle, la plus simple. En regardant la liste ci-dessus, on voit que si x=PI/2, c'est une solution qui marche.

Donc, cos(x)=0 est équivalent à x=(PI/2)+k*2PI puisque, quand cos(x)=y, tu as encore cos(x+2*PI)=y, cos(x+2*pi+2*pi)=cos(x+4*pi)=y ect.... (la périodicité).

Si tu prends k=0, x=PI/2 n'est pas dans l'intervalle ]-2Pi;0]. Donc cette solution n'est pas une solution au problème, qui demande de résoudre sur ]-2Pi;0]. La seule solution, c'est de prendre k=-1, à ce moment, x=-3PI/4, et tu es dans le bon intervalle.

C'est mieux ?

[jo6280]

Oui c'est mieux =) Merci

Alors dans ce cas
cos x = - 1/2 I= ]-pi;pi]
cos (- pi/3 +k*2pi) = 1/2

si k=0 x= - pi/3 ce qui est dans l'intervalle de ] - pi ; pi ]

Voila je crois que c'est sa car j'ai essayer avec k=-1 et j'ai trouver 5pi
C'est correct ?

[jo6280]

Quelqu'un pourrait me dire si mon calcul est bon ou faux , parce que si il est bon je pourrait en prendre modéle pour les 3 autres calculs a faire,merci

[jo6280]

J'ai fait les 3 suivant !
Je vous les met et vous me direz si j'ai bon,enfin si ya qq1 qui passe par là parce que le cette discussion est un peu vide,à part benjamin qui ma aider tout à l'heure,bref!

a) cos x = - 1/2 I= ]-pi;pi]
cos (- pi/3 +k*2pi) = 1/2

si k=0 x= - pi/3 ce qui est dans l'intervalle de ] - pi ; pi ]


b) sin x = (racine 3)/ 2 I= ]-pi;pi]
sin ( pi/3 +k*2pi) = (racine 3)/2

si k=0 x= pi/3 ce qui est dans l'intervalle de ] - pi ; pi ]


c) cos x = (racine 2)/ 2 I = [0;2pi[
cos (pi/4 +k*2pi)=(racine 2)/ 2

si k=0 x= pi/4 ce qui est dans l'intervalle [0;2pi[


d) sin x = - (racine 2)/ 2 I = [0;2pi[
sin (-pi/4 +k*2pi)=-(racine 2)/ 2

si k=1 x= 7pi/4 soit 1.75 pi ce qui est dans l'intervalle [0;2pi[



voila es-ce que j'ai bon ou faux ???

[Benjamin]

Désolé, j'étais parti.

Alors, la méthode est parfaitement correct, mais il y a des petites erreurs, je les corrige de suite.

Mais je me rends compte que moi aussi j'ai fait une gaffe, je suis désolé. En fait, tu n'as pas toute les solutions là. J'ai oublié le fait que cos(x) est pair et que sin(x) est impair. Donc en fait,
-pour cosinus : si x est solution, -x est solution (cos(x)=cos(-x))
-pour sinus : si x est solution, PI-x est solution.

Donc en fait, tu dois étudier pour cosinus : x0+k*2PI et -x0+k*2PI, où k est entier
pour sinus : x0+k*2PI et PI-x0+k*2PI, où k est entier

En fait, la méthode reste exactement la même, c'est juste que tu n'avais pas toutes les solutions. Encore désolé.

[jo6280]

Merci :we: ^^

[Benjamin]

Pas de quoi, mais il faudrait que tu corriges pour le coup. Il te manque des solutions.

[jo6280]

je croyais que il n'y avait qu'une seule solution par calcul :s
je ne vois pas mes erreurs,tu peut me guider ?

[jo6280]

a) cos x = - 1/2 I= ]-pi;pi]
cos (- pi/3 +k*2pi) = 1/2
si k=0 x= - pi/3 ce qui est dans l'intervalle de ] - pi ; pi ]

autre solution :
cos (+ pi/3 +k*2pi) = 1/2
si k=0 x= pi/3 ce qui est dans l'intervalle de ] - pi ; pi ]


b) sin x = (racine 3)/ 2 I= ]-pi;pi]
sin ( pi/3 +k*2pi) = (racine 3)/2
si k=0 x= pi/3 ce qui est dans l'intervalle de ] - pi ; pi ]

autre solution:
sin (pi-pi/3 +k*2pi) = (racine 3)/2
sin ( 3pi/3 - pi/3 + k*2pi) = (racine3)/2
sin (2pi/3 + k*2pi)
si k=0 x= 2pi/3 ce qui est dans l'intervalle de ] - pi ; pi ]

c) cos x = (racine 2)/ 2 I = [0;2pi[
cos (pi/4 +k*2pi)=(racine 2)/ 2
si k=0 x= pi/4 ce qui est dans l'intervalle [0;2pi[

autre solution:
cos (-pi/4 +k*2pi)=(racine 2)/ 2
si k=1 x = 7pi/4 soit 1.75pi ce qui est dans l'intervalle [0;2pi[


d) sin x = - (racine 2)/ 2 I = [0;2pi[
sin (-pi/4 +k*2pi)=-(racine 2)/ 2
si k=1 x= 7pi/4 soit 1.75 pi ce qui est dans l'intervalle [0;2pi[

autre solution:
sin (pi+pi/4 +k*2pi)=-(racine 2)/ 2
sin (4pi/4 + pi/4 + k*2pi)
sin (5pi/4 + k*2pi)
si k=0 x= 5pi/4 soit 1.25pi

[Benjamin]

Et bien c'est parfait :) sauf pour le a), c'est cos=-1/2 et non pas cos=1/2

Sinon, au niveau de la rédaction, il serait un peu plus rigoureux (un peu plus mathématique quoi) d'écrire :

sin x = (racine 3)/ 2 I= ]-pi;pi]

x0=pi/3 est solution donc l'ensemble des solutions sur R sont x1=x0+k1*2PI et x2=PI-x0+k2*2PI.

Pour k1>=1, x1>=7PI/3>PI donc pas de solutions.
Pour k1<=-1, x1<=-5PI/3<-PI donc pas de solutions.
Pour k1=0 x= pi/3 ce qui est dans l'intervalle de ] - pi ; pi ]

Pour k2>=1, x2>=8PI/3>PI donc ....
Pour k2<=-1, x2<=-4PI/3Pour k2=0 x2= 2pi/3 ce qui est dans l'intervalle de ] - pi ; pi ]

donc les uniques solutions sont : ....

voilà :)
Pour le reste, je crois que tu as tout très bien compris.

[jo6280]

J'espére que j'ai bon,si j'ai bon et que tu ne trouves pas de choses a changer je dois te parler de la seconde partie de l'exercice!Sa concerne le cercle trigonométrique,pour trouver les point associer il faut juste mettre les point comme - pi/3 +pi/3 pi/4 et -pi/4 non ?

[jo6280]

Ok merci je vais changer ma présentation,ma redaction que tu m'a proposé est parfaite ^^

[Benjamin]

Pour la deuxième question, oui, il suffit de faire ça. Et pour la première question, j'ai répondu juste avant :).

[jo6280]

Ben merci beaucoup de ton aide,sa m'a vraiment aider à comprendre la trigonométrie!
Merci et bonne soirée ^^

[Benjamin]

Avec plaisir, mais n'oublie pas que la a), y a une erreur !!