Équation de forme ax² + by = 1 avec pgcd(a,b)=1

[Danny Edward]

Bonjour !

Je dois résoudre l'équation (E): 27x²+4y=1.
Le début de l'exercice proposait de résoudre 27x+4y=1, ce pour quoi l'ensemble des couples (x,y) solutions est S = {(-1+4k, 7-27k), k € Z}.
Donc l'ensemble des couples (x²,y) solutions de l'équation 27x²+4y=1 est inclus dans S.
De plus, on nous demande de déterminer le reste de la division euclidienne de n² par 4 avec n € Z.
Si n est pair, le reste est 0, sinon, le reste est 1. Je dois alors en déduire l'ensemble des solutions de (E).

Je ne vois pas trop en quoi la réponse à la question sur le reste de la division euclidienne de n² par 4 aide à la résolution de ce problème, quelqu'un pourrait-il me mettre sur la piste ? :hey:

Merci !

Dan

[Lostounet]

Salut,

Je pense qu'il faut observer les valeurs de x = -1 + 4k modulo 4.
On veut que -1 + 4k soit un carré.
Si x est un carré, à quoi est congru -1 + 4k ? soit 1, soit 0 comme tu le dis.

Est-ce que c'est possible?

[Danny Edward]

Je ne suis pas sûr de saisir le sens de "congru", pouvez-vous expliciter s'il vous plaît ?

[Lostounet]

Tu as montré que si un nombre entier était un carré, alors le reste de la division de ce nombre par 4 vaut 0 ou 1.

Pour que x= 4k -1 puisse être un carré, on doit avoir le reste de la division de x par 4 qui vaut soit 0, soit 1. Est-ce que cela est possible?

[Danny Edward]

Ah. Non. D'accord... Merci ! :+++: