équation fonctionelle

[chouchou40]

Bonjour à tous,

Je suis bloqué sur un exercice dont voici l'énoncé :

Soit f une fonction dérivable sur R et vérifiant pour tous réels x et y, f(x+y) =f(x) * f(y)

1) Démontrer que s'il existe un réel x0 tel que f(x0) = 0 alors f est identiquement nulle ( c.à.d pour tout x de R, f(x) = 0 ). On pourra écrire x = ( x - x0) + x0
Dans la suite on supposera f non identiquement nulle

2) Démontrer que f(0) = 1

Pour le 1) j'ai fait cela mais je ne sais pas si c'est juste :
f(x0) = 0 => f(x+y) = 0 et f(x) + f(y) = 0
=> f(x) = 0 ou f(y) = 0
=> f est identiquement nulle

Pour le 2) j'ai essayé beaucoup de chose mais je n'ai rien trouvé de bon

Merci d'avance pour votre aide

[fonfon]

salut, pour la 1) pourquoi tu n'utilises pas (x-xo)+xo et la relation donnée f(x+y)=f(x)f(y)

[chouchou40]

Voila j'ai maintenant compris la question et je suis arrivé à cela :

1)Si f(xo) = 0 alors pour tout x réel, f(x) = f([x-xo] + xo) = f(x - xo)f(xo) = 0

Donc, pour tout x réel , f(x) = 0

2)f(0 + 0) = f(0)f(0) donc f(0) = f²(0)

donc f(0) = 0 ou f(0) = 1 .... et comme on ne peut pas avoir f(0) = 0 ......

Après à la question suivante on me demande :
Démontrer que pour tout x de R, f(x) > 0. On pourra écrire x = x/2 + x/2

J'ai donc fait f ( x/2 + x/2 ) = f ( x/2) * f (x/2) mais je vois pas comment prouver comment c'est supèrieur à 0.

Merci

[fonfon]

eh ben tu viens de faire tout le boulot:

Après à la question suivante on me demande :
Démontrer que pour tout x de R, f(x) > 0. On pourra écrire x = x/2 + x/2

J'ai donc fait f ( x/2 + x/2 ) = f ( x/2) * f (x/2) mais je vois pas comment prouver comment c'est supèrieur à 0.

tu as pour tout x ds R

[kasmath]

démontrer par récurence que
pour tout non null

est aprés déduire que