Equation entiers

[Flucked]

Bonjour à tous

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Si j'écris en système j'obtiens que

x+y+z=200 (1)
x+y+t=150 (2)
x+z+t=100 (3)
y+z+t=n (4)

avec (1)-(2) j'obtiens que z-t=50

pour répondre à la question 1 je remplace n par 50 et j'écris
y+z+2t-t=50
y+2t=0 ce qui n'est pas possible puisque y et t sont strictement positifs.
Donc la A est fausse.
Vous êtes d'accord ?

Pour la suite je ne sais pas

[Flucked]

je viens de faire quelque chose pour la C mais sans oboutir:

(1)+(2)+(3) : 3x+2y+2z+2t=450 donc 3x+2n=450
donc 2n=3(150-x) donc 2n est un multiple de 3 ce qui ne permet pas de conclure. Je ne sais pas si c'est utile.

[zygomatique]

salut

x+y+z=200 (1)
x+y+t=150 (2)
x+z+t=100 (3)
y+z+t=n (4)

en additionnant ces quatre égalités membre à membre on obtient ... ??

[Flucked]

3(x+y+z+t)=450+n

n=3(x+y+z+t-150) donc n est divisible par 3 merci beaucoup

Un coup de pouce pour le reste ?

[chan79]

Salut

3(200+t)-450=n
n=...
La proposition (E) est fausse
Prendre (x,y,z,t)=(10,120,70,20)

[Flucked]

Merci mais comment tu as trouvé cette solution ? tu as résolu le système j'imagine. Y'a quelques astuces ou faut y aller en mode bourrin ?

[zygomatique]

pour d et e il suffit de prendre n = 210 et de résoudre ...

[Ben314]

Salut,
Vu la simplicité du système, il me semble que tu aurais intérêt dés le départ à le résoudre plutôt que de ta faire c... à faire des déduction au "cas par cas" pour chaque question.
Si tu est astucieux, tu fait ce dit zygo, c'est à dire que tu commence par tout ajouter, puis tu retranche à cette somme chacune des lignes pour trouver la valeur des variables.

Mais, même sans astuce, c'est archi. simple :
La (1) dit que z=200-x-y.
La (2) que t=150-x-y.
Injecté dans la (3) ça donne 350-x-2y=100 donc x=250-2y et (1) et (2) deviennent z=y-50 et t=y-100
La (4) donne alors 3y-150=n donc y=50+n/3 d'où x=150-2n/3 ; z=n/3 et t=n/3-50.
Et pour que x,y,z soient des entiers strictement positifs, il faut (et il suffit) que n soit un multiple de 3 strictement compris entre 150 et 225.

[chan79]

Pour compléter
Si on résout le système formé par les trois premières égalités, on obtient les 24 solutions:

A droite de l'étoile, la valeur de n
Ainsi, pour n=210, on a l'unique solution (x,y,z,t)=(10,120,70,20)

[Flucked]

Merci beaucoup