Equation de droite

[Pseuda]

Sinon en effet, ont été exposées 2 méthodes de résolution, celle d'@aviateur par le calcul analytique, et celle de @Black Jack par la géométrie, mais pour cette dernière cela ne saute pas aux yeux que toutes les droites Dm sont tangentes au cercle par où ne passe qu'une seule droite Dm (pour ne choquer personne).

[beagle]

Pour la copie ci-presente, les deux points que je devais donner pour la rédaction en deviennent confondus?

[aviateur]

Bonjour
En relisant attentivement les posts, je me rends compte que finalement la solution à la question 2) n'a pas été, ou pas complétement donnée.

Bonjour
Non @pseuda tu n'as pas relu attentivement les posts. En tout cas, pas les miens. (Ou bien alors depuis ce message il y a eu des changements. )
1. Non la réponse à la question 1: le lieu des points recherchés ce n'est pas le cercle de centre (2,1) est de rayon 1.
2. Non la condition donnée par BlackJack n'est pas une condition d'orthogonalité des droites .
3. Non le lieu des points de la question 2) n'est pas le cercle donné par @BlackJack (j'ai tout de même donné un exemple hier qui montre que c'est faux).
4. Oui, une apparence de démonstration cachée derrière un texte et des arguments cafouilleux n'est pas une démonstration. La preuve en est que cela conduit souvent à des résultats faux, comme c'est le cas ici.

Je préfère m'arrêter ici évidemment.

[aviateur]

Je n'ai pas vu ton message @BlackJack et tu dois deviner celui dont tu parles, celui ou tu m'impliques.
Franchement de A à Z, dans ce post il ne s'agit que de choses mal dites, fausses exct.
Je suis désolé, mais si les choses sont mal ficelées ça pose problème en math. C'est un fait.
Alors si c'est mal ficelé, je ne fais pas de fausses accusations, je le dis.
J'ai dû mal à lire ce qui n'est pas clair. Mal seule vraie expérience c'est de lire des bonnes math.
Quand c'est brouillon ça me gêne car très souvent c'est faux derrière.
C'est le cas de ta démonstration et effectivement vu ton agressivité, j'ai essayé de relire une seconde fois tes écrits, j'y ai vu un petit quelque chose et j'ai fini par l'accepter car à bout et fatigué par vos réactions.
Mais je suis désolé à froid, les math c'est les maths: ta démonstration ne me convient pas et j'ai le regret de t'annoncer qu'elle est fausse comme tu as pu le voir sur mon exemple d'hier.
Je te prie de comprendre que ce n'est pas en me considérant comme un incapable à saisir ta
" démonstration" qu'elle en sera meilleure et que ton résultat deviendra bon.
Il serait préférable de se mettre en tête, que c'est par une simple meilleure mise en place de sa pensée, que finalement on peut résoudre correctement ce petit exercice de première, exercice qui ne demande pas d'astuces particulières.

[nodgim]

Pardon, mais pourquoi faites vous précéder systématiquement le pseudonyme de la personne à qui vous vous adressez par " @ " ? Perso, je lis " à " pour @, donc si j'interpelle une personne en particulier, je vais débuter mon laïus par " @ pseudo" (lire " à pseudo ") et donc dans une phrase courante, je ne me sens pas obligé de mettre le @ à chaque fois.
J'ai mal compris le sens de " @ " ?

[Pseuda]

Pardon, mais pourquoi faites vous précéder systématiquement le pseudonyme de la personne à qui vous vous adressez par " @ " ? Perso, je lis " à " pour @, donc si j'interpelle une personne en particulier, je vais débuter mon laïus par " @ pseudo" (lire " à pseudo ") et donc dans une phrase courante, je ne me sens pas obligé de mettre le @ à chaque fois.
J'ai mal compris le sens de " @ " ?

Bonjour,

Je ne sais pas, j'ai pris cette habitude parce que tout le monde le fait.

[Landstockman]

J'imagine que c'est parce que sur plusieurs plateformes ça permet de notifier les personnes mentionnées mais aucune certitude...

[Black Jack]

Je te prie de comprendre que ce n'est pas en me considérant comme un incapable à saisir ta
" démonstration" qu'elle en sera meilleure et que ton résultat deviendra bon.

La "démonstration" qui a provoqué les polémiques était celle concernant : "Toutes les droites D sont perpendiculaires au cercle d'équation (x-2)² + (y-1)² = 1"

Et quoi que tu en dises, c'est correct et a été démontré. (par moi et par Ben par une autre méthode)

Pour ce qui est du lieu demandé, c'est une autre histoire, j'ai amorcé une piste "géométrique" qu'il faut évidemment approfondir pour celui que cela interesse.

Le contre exemple que je t'avais invité à trouver concernait bien évidemment "Toutes les droites D sont perpendiculaires au cercle d'équation (x-2)² + (y-1)² = 1"
... Et pas sur le lieu demandé comme réponse finale à l'exercice.


En poursuivant la piste géométrique, il est aisé (et non je ne ferai pas de démonstration complémentaire (le but n'est pas sur ce site de faire les exercices entièrement mais bien d'indiquer le chemin à suivre, sauf si c'est tellement évident que montrer la piste est quasi équivalent à faire l'exercice), de montrer que :

Toutes les droites D sont perpendiculaires au cercle d'équation (x-2)² + (y-1)² = 1 (cela a été demontré par moi et par Ben par une autre méthode)

Le lieu demandé en 2 est le cercle d'équation (x-2)² + (y-1)² = 2 ... à l'exception du point de coordonnées (1;2) (qui correspondrait aux droites D pour m = 1 et pour m --> +/- infini).

[Pseuda]

Bonjour @aviateur,

Je réponds quand même ci-dessous :

Bonjour
Non @pseuda tu n'as pas relu attentivement les posts. En tout cas, pas les miens. (Ou bien alors depuis ce message il y a eu des changements. )

1. Non la réponse à la question 1: le lieu des points recherchés ce n'est pas le cercle de centre (2,1) est de rayon 1.
Là je ne vois pas, cela a été prouvé dans la discussion (enfin je trouve pareil)

2. Non la condition donnée par BlackJack n'est pas une condition d'orthogonalité des droites .
Oui, c'est une erreur, et il a laissé tomber cette affirmation. Ta condition écrite au tout début est juste (enfin je trouve pareil).

3. Non le lieu des points de la question 2) n'est pas le cercle donné par @BlackJack (j'ai tout de même donné un exemple hier qui montre que c'est faux).
Je trouve comme Black Jack via les 2 démonstrations (analytique et géométrique). Quel exemple d'hier ?

4. Oui, une apparence de démonstration cachée derrière un texte et des arguments cafouilleux n'est pas une démonstration. La preuve en est que cela conduit souvent à des résultats faux, comme c'est le cas ici.
Il y a une démonstration plus simple (sans faire de distinction de cas), en utilisant la distance d'un point à une droite : la droite Dm est tangente au cercle de centre I (2;1) et de rayon 1 ssi la distance de I à Dm est égale à 1 (et on connaît la formule de la distance d'un point à une droite). C'est vérifié pour toutes les droites Dm.
Puis on trouve le cercle de centre I et de rayon V2 par des considérations géométriques (il suffit de faire un dessin) : 2 droites Dm sont orthogonales, sachant qu'elle sont tangentes au cercle de centre I et de rayon 1 ssi I, les points de tangence, et le point d'intersection des droites Dm forment un carré, cela donne V2 pour la distance du point d'intersection des droites à I.

[aviateur]

@BlacjJack
Voici ce que j'ai lu concernant ta "solution" .

Autre méthode. "tu proposes autre chose car ta première méthode utilise la condition quelque chose de faux".
On peut montrer sans trop de difficulté que toutes les droites D qui existent sont tangentes au cercle d'équation (x-2)²+(y-1)² = 1 (c'est vrai et admettons le que c'est fait sans difficulté)
Et donc le lieu des points du plan tels que les tangentes à ce cercle (passant par un point du lieu) sont perpendiculaires est le cercle d'équation (x-2)²+(y-1)² = 2 (c'est immédiat par un dessin et 1 ligne de trigono)
(Et bien ça ce n'est pas un raisonnement, franchement qu'est ce que cela veut dire? )
La réponse à la question 2, pour moi très claire, est donc: les points du cercle de centre de coordonnées (2,1) et de rayon V2. (C'est très clair uniquement pour toi mais d'un point de vue scientifique ça ne l'est pas du tout. Alors j'ai dû faire l'exercice après tous ces remarques désobligeantes pour constater que c'est faux .)

Je ne fais que de demander d'être plus précis pour voir si vraiment le raisonnement est correct.
En retour voici ta réponse (et pour la paix , bien sûr je ne rapporte pas toutes les remarque supplémentaires faisant allusion à mon incompétence)

Quand tu ne comprends pas, tu modifies le texte écrit par d'autres et tu relèves les incohérences dans ce que tu penses avoir compris ... alors que tu es loin du compte.

Maintenant je ne veux pas continuer dans cette voie là. Je ne pense pas qu'un dialogue constructif soit possible ici. Alors merci de ne pas en rajouter.

[aviateur]

Bonjour @Pseuda

Mais à ma connaissance le point A de coordonnées (1,2) appartient au cercle en question.
Alors il faudra faire un gros effort pour trouver les deux droites (perpendiculaires) de la famille qui se coupent en ce point

Dans le contexte du message, le cercle en question c'est le lieu trouvé par @BlackJack, i.e le cercle de centre de (2,1) et de rayon 2.


Bien entendu cet exercice n'est pas difficile du tout à condition de le faire proprement. C'est un bon exercice de première ou terminale sans difficultés particulières.
L'intérêt supplémentaire de cet exercice c'est que l'on peut y trouver des approfondissements comme l'a suggéré @ben avec les enveloppes de droites.
Et puis, en y réfléchissant un petit peu, avec un simple calcul, on doit voir que le lieux cherché n'est pas un compact et, alors, sans avoir fait l'exercice en entier on se rend compte que lieu cherché ne peut pas être un cercle car lui c'est un compact.

[Pseuda]

Bonjour @aviateur,

Pour ma part, je vais dire comme @Ben314 : cet exercice ne m'intéresse tellement pas que j'ai du mal à le mener proprement jusqu'au bout. Tu parles d'un cercle de rayon 2, @Black Jack parle d'un cercle de rayon V2 ..... Pour la 1), il faut bien entendu priver le cercle du point d'abscisse 1, si c'est ça que tu veux dire. Du coup, il doit y avoir des particularités pour la 2), mais je crois que je vais en rester là .... (raison : début du message).

[aviateur]

@pseuda, Oui bien sûr, j'ai très bien compris pourquoi tu veux en rester là
Amicalement

[Pseuda]

Sinon, je dirais que :

- solution géométrique : niveau 2nde d'aujourd'hui aidée (car comment voir que l'ensemble des droites Dm sont tangentes à un cercle ?)
- solution analytique : EDIT : niveau 1ère S d'aujourd'hui aidée (la somme et le produit des racines d'un trinôme du 2nd degré n'est plus au programme du lycée).

[aviateur]

Amicalement!!

[Pseuda]

Ok ! @Black Jack n'a pas dit comment il avait trouvé les tangentes au cercle, mais il y a Geogebra et quelques essais ....

[Black Jack]

2. Non la condition donnée par BlackJack m1.m2=-1 n'est pas une condition d'orthogonalité des droites .

Bien sûr qu'on peut étudier le problème par cette voie ...


Par "m1.m2 = -1"

m1 et m2 étant, bien évidemment des pentes (ou coefficients directeurs ou n'importe comment on les nomme) de droites D.

On a donc m1 et m2 de la forme (m²-1)/(2m) si m est différent de 0. (et donc x différent de 3)

A partir de l'équation du second degré en m : m²(1-x)+2m(y-1)+x-3=0, on tire les solutions (Si x est diff de 1):

m_a = [(1-y) - V((1-y)²+(x-4)(x-3))]/(1-x)
m_b = [(1-y) + V((1-y)²+(x-4)(x-3))]/(1-x)

On doit donc avoir : (m_a²-1)/(2.m_a) * (m_b²-1)/(2.m_b) = -1

m_a².m_b² - (m_a²+m_b²) + 1 = -4.m_a.m_b (1)

Or à partir des expressions de m_a et m_b ci-dessus, on montre facilement que :
m_a.m_b = -(x-3)/(x-1)
et
m_a² + m_b² = 2*(2.(1-y)²+(x-1)(x-3))/(1-x)²

(1) --> (x-3)²/(x-1)² - 2*(2.(1-y)²+(x-1)(x-3))/(1-x)² + 1 = 4.(x-3)/(x-1)

(x-3)² - 2*(2.(1-y)²+(x-1)(x-3)) + (1-x)² = 4.(x-3).(x-1)

On développe, simplifie ... et on arrive à : 4x²-16x+4y²-8y+12=0

soit donc ; x² - 4x + y² - 2y + 3 = 0

(x-2)² + (y - 1)² = 2

C'est l'équation du lieu cherché (si x est différent de 3 et de 1)

On traitera ces cas séparément.

... je le laisse à qui veut.