Equation de droite

[beagle]

Mon préféré c'est dans les perles d'élèves, mais cela parle aussi de qui pose la question et comment on la pose.
l'intitulé est trouvez x et en dessous il y a un beau schéma par exemple un triangle rectangle avec 6 et 8 sur petits cotés et x en hypotenuse.
Et là l'élève entoure le x et répond: il est là!

je ne m'en lasse pas!

[Pseuda]

Bonjour,

Je ne voulais pas intervenir dans ces échauffourées, mais bon. Pour ma part, l'énoncé est absolument clair et correct, et il faut se replacer certainement dans le contexte des années 60 où le style d'écriture devait être différent d'aujourd'hui :

On considère dans un repère orthonormé la droite d'équation (1-m²)x+2my+m²-2m-3=0.

L'équation est l'équation générale d'une droite ssi . Ici, c'est vérifié : l'équation n'a pas de solution.

Par un point donné passent en général deux droites.

C'est affirmé, comme la proposition précédente, mais c'est courant, dans tous les énoncés. C'est vrai que "passent en général deux droites", c'est une affirmation ... très générale.

1) Trouver le lieu des points par où passent deux droites D confondues.

On vient de parler de deux droites. C'est on ne peut plus logique de se poser la question de deux droites confondues.

Par exemple, quand on étudie la position relative de deux droites dans un plan, on dit qu'elles sont soit sécantes, soit parallèles, et si elles sont parallèles, elles sont soit strictement parallèles, soit confondues. Donc de parler de deux droites confondues, c'est très très très courant....

En revanche, l'énoncé parle d'une droite , non mentionnée précédemment. C'est ce qui pourrait être le plus embêtant. Mais qu'il ne parle pas d'une droite ne me choque pas. Cela se voit : par exemple la fonction

[Ben314]

Donc de parler de deux droites confondues, c'est très très très courant....

Donc visiblement, y'a rien qui te choque si un type te dit "dans mon panier, j'ai deux pommes confondues".
Certes, on parle on ne peut plus fréquemment de "deux objets confondus", mais bien évidement (ça me semble quand même débile de le signaler...) lorsqu'au départ on a deux objets (à priori) définis de façon différentes comme dans : Jojo a une voiture, Lulu a une voiture, mais en fait c'est la même voiture. Sauf que là, c'est pas le cas.
Bref, à ton age, il serait bon de comprendre que le sens des mots dépend du contexte dans lequel on les emploie et que ce n'est sûrement pas parce que le mot "confondu" est employé dans certain contextes que ça signifie qu'on peut l'utiliser n'importe où et en dépit du bon sens.

Bref, je persiste (lourdement). Et le fait que ça date de 1966 ne change rien à l'affaire (*) sauf éventuellement concernant le "généralement" qui était éventuellement mieux compris à l'époque.

(*) Sauf que, comme Beagle, ça me surprend effectivement un peu : les bouquins que j'ai lu de l'époque (la bibliothèque de l'IREM est quasi en dessous de mon bureau...) m'avais très nettement donné l'impression d'être plus sérieux que ceux d'aujourd'hui dans la manipulation du vocabulaire. Comme quoi, il y des exception à tout...

[Pseuda]

Cela ne me choque absolument pas. Tu devrais ouvrir un bouquin de collège / lycée de temps en temps .... Tu y liras ce vocable de "deux droites confondues" :

https://www.maxicours.com/se/fiche/3/0/240303.html/6e

A ton âge, il serait bon de comprendre que tu ne peux pas avoir raison contre tous les professeurs de collège / lycée.

[Ben314]

A ton âge, il serait bon de comprendre que tu ne peux pas avoir raison contre tous les professeurs de collège / lycée.

Et au tien... d'apprendre à lire : est-ce le même contexte que celui dans lequel tu prétend que l'utilisation du terme "droite confondues" est correct ?

[Pseuda]

Il n'y a qu'un seul contexte : celui où on vient de parler de "deux droites". C'est le cas ici : on vient de parler de "deux droites".

Et j'en resterai là, parce que je trouve que c'est de la petite gué-guerre inutile.

Si ce terme et son contexte ne te plaisent pas, tu peux t'adresser à l'Education Nationale, et à ceux qui font les programmes, pas à un forum comme celui-ci.

[posso49]

Je suis entièrement d'accord avec toi Pseuda. Le texte du problème me parait très clair maintenant. J'avais juste oublié le D dans le texte : "la droite D d'équation ...".
Cordialement.

[Black Jack]

Salut,

On peut toujours ergoter pour savoir si une équation du second degré dont le discriminant est nul à 1 seule solution ou bien une solution double.

C'est le même ergotage qui ici, fait dire à l'auteur "deux droites confondues" et pas "une seule droite".

Il n'empêche que c'est vrai que l'énoncé mériterait d'être plus soigné.

Et c'est vrai aussi que par les points à l'intérieur du cercle d'équation (x-2)² + (y-1)² = 1, on ne peut faire passer aucune droite D.

Pour le lieu 2, il faudrait que l'équation (1-x).m² + 2m(y-1) + (x-3) = 0 ait 2 solutions m1 et m2 telles m1*m2 = -1

... Il me semble qu'il n'y a aucun point du plan qui convient.

Ecrire l'équation sous la forme m² - m.S + P = 0 (avec P = m1.m2 et S = m1+m2) et montrer qu'il n'y a pas de valeurs de (x,y) telles que les solutions m1,m2 existent avec P = -1

Je n'ai absolument pas vérifié ce que j'ai écrit ci-dessus ..
.

[aviateur]

Bonjour
@Black Jack, concernant la défense du charabia, on ne va pas ergoter ici mais c'est du sérieux.
C'est au moins un des grands problèmes à résoudre pour sortir du stade où on en est arrivé. (voir ci-dessous)
https://www.lemonde.fr/education/article/2016/11/29/l-inquietant-niveau-des-eleves-en-maths-et-sciences_5039968_1473685.html
Mais as-tu vu que j'ai donné les grandes lignes de la solution? (il y a des solutions pour la question 2.)

[Ben314]

On peut toujours ergoter pour savoir si une équation du second degré dont le discriminant est nul à 1 seule solution ou bien une solution double.
C'est le même ergotage qui ici, fait dire à l'auteur "deux droites confondues" et pas "une seule droite".

Non, absolument pas :
Déjà, l'expression "solution double" n'a (de nouveau) aucun sens. L'expresion que tu as le droit (voire le devoir) d'employer est celui de "raine double" et c'est bien sûr dans le cas d'un polynôme et pas d'une équation. Là, oui, ça a du sens, ça signifie qu'on peut factoriser non seulement (X-a) mais même (X-a)^2 dans le polynôme en question.
Mais bon, je suppose que, pour toi, une équation et un polynôme, c'est kif-kif, non ?

M'enfin bon, vous faites ce que vous voulez concernant ce qui est "acceptable" de trouver dans un bouquin scolaire.
Perso, tout ce que j'en tire, c'est que je comprend mieux pourquoi on en est arrivé... où on en est... au niveau de la prose mathématique de nos cher "têtes blondes".

[Black Jack]

"Mais bon, je suppose que, pour toi, une équation et un polynôme, c'est kif-kif, non ?"

Cesse de dire des conneries.

"Déjà, l'expression "solution double" n'a (de nouveau) aucun sens. "

Connerie ... une de plus.

[Black Jack]

Aviateur,

8-) Mais as-tu vu que j'ai donné les grandes lignes de la solution? (il y a des solutions pour la question 2.)

Oui, et on peut les trouver par la méthode que j'ai indiquée (m1.m2=-1 ...)
Mon seul tort est de ne pas avoir poussé les calculs assez loin (pas du tout pour être franc).

Cela ne change rien à ce que j'ai écrit pour le reste.

[Ben314]

Cesse de dire des conneries.

"Déjà, l'expression "solution double" n'a (de nouveau) aucun sens. "

Connerie ... une de plus.

Et bien plutôt que de me traiter de con, donne moi la définition de ce qu'est une "solution double" d'une équation : Il n'est sûrement pas trop tard pour que j’apprenne.

[aviateur]

Mais @blackjack ce que tu dis est faux: n'exprime pas l'orthogonalité des droites


P.S Heureusement que @ben est présent sur le forum pour essayer de remettre de l'ordre!

[Sa Majesté]

Un peu de calme et de retenue s'il vous plaît.

[Black Jack]

2)
Autre méthode.

On peut montrer sans trop de difficulté que toutes les droites D qui existent sont tangentes au cercle d'équation (x-2)²+(y-1)² = 1

Et donc le lieu des points du plan tels que les tangentes à ce cercle (passant par un point du lieu) sont perpendiculaires est le cercle d'équation (x-2)²+(y-1)² = 2 (c'est immédiat par un dessin et 1 ligne de trigono)

La réponse à la question 2, pour moi très claire, est donc: les points du cercle de centre de coordonnées (2,1) et de rayon V2.

Sauf si je me suis trompé (dans la résolution, mais certainement pas dans la compréhension de la question).

[aviateur]

Bonjou

On peut montrer sans trop de difficulté que toutes les droites D qui existent sont tangentes au cercle d'équation (x-2)²+(y-1)² = 1

@Black Jack D'accord c'est la clé essentielle de ta démonstration et donc tu
peux expliquer comment tu trouves cela?

[nodgim]

Pardon, mais même incompréhension que Aviateur et Ben pour cet énoncé. Ce qui a posé aussi problème à Posso49. On comprend à peu près où l'auteur veut en venir avec ses questions, mais seulement après un temps de réflexion. Sans doute que l'exercice se trouve dans une série d'exos de droites paramétrées, le non dit se trouvant dans la rubrique ?

[aviateur]

Enfin un nouveau membre du club!

[beagle]

Pardon, mais même incompréhension que Aviateur et Ben pour cet énoncé. Ce qui a posé aussi problème à Posso49. On comprend à peu près où l'auteur veut en venir avec ses questions, mais seulement après un temps de réflexion. Sans doute que l'exercice se trouve dans une série d'exos de droites paramétrées, le non dit se trouvant dans la rubrique ?

Nodgim a raison, c'est clair dans le livre.
Un vieux grimoire de 1966
"trouver le lieu des points" c'est pas très usuel de nos jours, il me semble, si?

Pourtant c'est bien lieu, non? Pour un point de dimension nulle par exemple,
est-ce que cela existe un point?
ben oui , comme lieu, c'est ici ...