Equation diophantienne

par **Falanaka** » 22 Sep 2009, 21:01

Bonjour,
je vous expose tout de suite mon problème:
Dans une exercice nommé "Equation diophantienne", un point sur lequel je bloque est le suivant :
Soit p un entier naturel premier différent de 2.
Déterminer l'ensemble des couples ( x ; y ) d'entiers naturels tels que
x^2-y^2 = p
Il n'y a aucune erreur dans l'écriture de l'énoncé.
Je vous remercie à l'avance,
Falanaka

par **HanZel** » 23 Sep 2009, 07:11

Par définition, p est premier s'il ,n'est divisible que par 1 ou p (à la limite -1 et -p). L'ensemble ( {1} ; {p} ) est la totalité des diviseurs positifs de p.

Ici tu as x²-y²=p soit (x+y)(x-y)=p c'est à dire (x+y) divise p et (x-y) divise p.

Donc d'après la définition que peux tu dire sur le couple ( (x+y) ; (x-y) ) ?

EDIT : Erreurs rectifiés, tu devrais mieux comprendre...

par **Aurelien08** » 23 Sep 2009, 08:49

Coucou

par **Falanaka** » 23 Sep 2009, 12:15

On peut dire que le couple ( (x+1);(x-1) ) n'est solution de x^2-y^2=p que si x=2 puisqu'il faut que x+y=p et que x-y=1.
Merci beaucoup pour l'aide apporté, maintenant tout est beaucoup plus limpide.

par **Benjamin** » 23 Sep 2009, 12:19

Attention ! HanZel a fait une erreur. x²-y² n'est pas égale à (x-1)(x+1) mais bien (x-y)(x+y) !!

par **HanZel** » 23 Sep 2009, 14:21

oui excuse moi Falanaka, tous mes 1 sont des y...
Je vais éditer.

On a donc les diviseurs de p qui sont (x-y) et (x+y) et comme les diviseurs de p sont aussi 1 et p, tu en déduis que ...?

par **Falanaka** » 23 Sep 2009, 19:10

Merci, j'avais bien compris que x+1 et x-1 ne valait que pour le couple solution de 3 et qu'il y avait une infinité de couple avec un x et un y défini.

par **HanZel** » 24 Sep 2009, 06:20

Pour trouver l'ensemble des couples (x,y), tu as 2 systèmes de 2 équations à 2 inconnues à résoudre. Les as tu trouvés?

Equation diophantienne

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