Equation Diophantienne

[mathmeatiquesdiogmx]

Bonjour à tous je suis en train de relire une preuve concernant une équation diophantienne et je ne comprend pas l'issue de celle-ci.

L'auteur apporte la preuve que 31^x+41^y=z^2 n'a pas de solution pour x,y,z des entiers non négatifs.

Je vous met ci-dessous (en rouge) la preuve très courte mais élégante Ce que je comprend pas c'est le fait d'affirmer dans le cas où x et y sont supérieurs ou égale à 1 que c'est impossible que n² soit congrues à 3 modulo 5 en fin de preuve (et c'est ce qui prouve que l'équation n'a pas de solution pour x et y supérieurs ou égales à 1).

Si x ≥ 1 et y ≥ 1, alors 31^x et 41^y sont impairs
Donc z^2 est pair donc z est pair
z = 2n donc z^2 ≡ 4n^2 (mod 5) (3) avec n est entier non négatif.
Maintenant 31 ≡ 1(mod 5) et 41 ≡ 1(mod 5), donc 31^x ≡ 1(mod5) et 41^y ≡ 1(mod 5).
Donc z^2= 31x + 41y ≡ 2 (mod 5)
Donc on obtient
4n^2 ≡ 2(mod 5) ce qui implique que n^2 ≡ 3(mod 5).
Cela est impossible.[/color]

Cordialement,

P.G

[lyceen95]

J'ai envie de proposer une autre démonstration.
Quel est le chiffre des unités de 31^x ? 1
Quel est le chiffre des unités de 41^y ? 1
Et donc le chiffre des unités de 31^x+41^y est 2.
Y-a-t-il des carrés parfaits qui ont 2 pour chiffre des unités ? Non.
Donc l'équation proposée n'a pas de solution.

Le point qui te bloque : ' n^2 n'est jamais égal à 3 modulo 5'
On retrouve quasiment la même chose dans ma démonstration : z^2 n'est jamais égal à 2 modulo 10.

Partons sur ton cas : ' n^2 n'est jamais égal à 3 modulo 5'
Soit un nombre n, qu'on va écrire sous la forme n=5a+b avec b=0,1,2,3 ou 4
n^2= 25a^2+10ab+b^2
Modulo 5, n^2=b^2, parce que le reste est un multiple de 5
si b=0, n^2=0 modulo 5
si b=1, n^2=1 modulo 5
si b=2, n^2=4 modulo 5
si b=3, n^2=4 modulo 5
si b=4, n^2=1 modulo 5
On a regardé tous les cas, et on tombe toujours sur 0,1, ou 4. Jamais sur 3.