Equation Differentielle

[Emeline12]

Bonjour à tous =) ,

J'ai un exercice sur les equations differentielles et j'ai un petit problème alors en venant ici j'espère que quelqu'un pourra m'aider =)

L'enoncé est le suivant (sans lequel vous ne compreneriez rien ^^') :
On considere la fonction f , derivable sur R, verifiant pour tout x :
f'(x)=-f(x)[2-f(x)] et telle que f(1)= 2/3

. Soit l'equation differentielle y'=2y-1 (E)
1- Montrer que la fonction g= 1/f est solution de (E) .

Donc moi j'ai : - calculer g'(x) et cela fait g'(x)=-f'/f²
- dans cette expression de g'(x) je remplace f'(x) par -f(x)[2-f(x)]
et voilà mon problème je devrai arriver logiquement à g'(x)= 2g(x)-1 et je ne trouve pas ce résultat =(
Je trouve un truc du genre : g'(x) = (-2+f(x))/f(x)

Alors voila si quelqu'un à une petite idée ou qui veut bien s'interesser à mon petit cas desepéré cela serait très gentil =)

Merci d'avance ,
Emeline12

[Ben314]

...Je trouve un truc du genre : g'(x) = (-2+f(x))/f(x)...

Il me semble que, en se rappelant que g=1/f, tu as gagné...

modulo peut-être une petite erreur de signe...

[Emeline12]

Sérieux ? =D
En fait je tourne en rond depuis au moins 3/4 d'heure alors que la réponse je l'ai déjà trouver ? :mur:
En tout cas merci beaucoup =)

[Emeline12]

Ah ça y est j'ai trouvé l'erreur comme quoi un petit signe - peut vite foutre la bagaille ^^"

[Ben314]

Si tu veut une petite "astuce", dans un exo de ce style, tu as au départ une équation avec f(x) : f'(x)=-f(x)[2-f(x)] et tu veut obtenir une équation avec QUE des g(x) donc il faut bien penser à remplacer TOUT les f(x) par leur équivalent en g(x).
Par exemple, une autre façon de rédiger (c'est quasi la même) est de dire que, comme g=1/f, on a f=1/g et f'=-g'/g² .
Donc on peut réécrire l'équation f'=-f(2-f) sous la forme -g'/g²=-1/g(2-1/g) et, en multipliant des deux cotés par g², on obtient directement le résultat.

Ce que je voulais pointer du doigt avec cette méthode, c'est que, dans ce type de "changement d'inconnue" (f<->g) c'est malin de n'écrire des formules qu'avec des f ou bien qu'avec des g.

[Emeline12]

ah oui c'est aussi une bonne méthode .
Merci pour le conseil =)

[Emeline12]

J'aurais encore une petite question si possibe ^^' .
Donc je continue l'exercice entre temps j'ai démontrer que f(x) = 2/[2e^2(x-1) +1]
Et là faut étudier les variations , donc je fais la dérivée et je trouve : f'(x) = (-4e^2x-2)/(2e^2(x-1)+1)² est-ce possible parcequ'àprès j'ai du mal à trouver les signes ^^'

[Ben314]

Pour f, je suis d'accord avec ton résultat et j'ai l'impression que ton calcul de f' est exact. Le signe de cette expression est trés simple à calculer : il suffit de savoir que l'exponentielle d'absolument n'importe quoi est toujours positif...

Remarque : si on regarde bien, on peut aussi trouver les variations de la fonction f sans calculer le signe de f'...

[Emeline12]

Oui , c'est exacte , je viens de réagir ^^' .
Par contre pour la méthode de calculer sans f' je ne vois pas =s ou peut-être , c'est de forme 1/e^(x) donc sachant que la courbe représentation l'exponentielle est croissante , la courbe représsentant l'inverse sera décroissante ...
Je m'embrouille un peu là non ? ^^

[Ben314]

Si tu ne veut pas calculer f', tu peut t'en sortir "par composition" :

Si x augmente alors x-1 augmente, 2(x-1) augmente, exp(2(x-1)) augmente (car la fonction exp est croissante), 2exp(2(x-1))+2 augmente ET RESTE POSITIF donc 1/[ 2exp(2(x-1))+2 ] diminue (car la fonction t->2/t est décroissante sur ]0,infini[)

Mais, vu que f' est assez facile à calculer et que son signe est évident, je pense qu'il vaut mieux utiliser la méthode "standard" de la dérivée...

[Emeline12]

ah oui d'accord =) .
C'est sur que là la dérivée c'est quand même plus simple à rédiger en tout cas .
En tout cas merci j'ai fini mon exercice =) maitenant plus que deux et j'aurais terminer mon devoir maison ^^

[Emeline12]

J'aurais une derniere question si possible ^^' parceque ça me bloque alors que j'arrive tout le reste -_-

on a une fonction definie sur -1;1 , f(x) = ln(x+1/1-x)
Il faut montrer que f(-x)=-f(x)
Alors je ne trouve jamais la même chose =(
Est-ce par exemple , f(-x) donne ln(-x+1/1-x) ou alors ln(-x-1/1-x) ?

Merci d'avance :girl2:

[Ben314]

Bon, comme je m'en vais, je te "vend la mèche" :

Ensuite, il faut que tu simplifie, que tu utilise une propriété du log et tu devrais trouver que cela vaut , c'est à dire ...

[Emeline12]

F(-x) = 0 non ? pfiouuuu -_-
mais le problème sait que je sais pas comment rédiger =/ il faut que je dise :
f(-x) = o pour tout x alors f(1/x)=0 d'ou -f(x) =0= f(-x) ?

[Emeline12]

Merci beaucoup =D