équation différentielle

par **mikey** » 08 Mar 2012, 21:31

Bonjour ! J'ai besoin d'aide pour un exercice qui me pose problème .merci de m'aider !

"si f et g sont dérivables sont deux fonctions dérivables telles que 2f'+f=2g'+g alors f =g " cette propostion est elle justifiée ? démontrer .

merci d'avance !

par **Nightmare** » 08 Mar 2012, 21:35

Hello,

voici un début de réflexion :

2f'+f=2g'+g équivaut à 2(f'-g')+(f-g)=0.

En posant y=f-g, l'équation ci-dessus équivaut alors à 2y'+y=0.

Dire que f=g revient à dire que y=0, donc ta proposition est vérifiée si et ssi la seule solution de 2y'+y=0 est y=0. Est-ce le cas?

par **mikey** » 08 Mar 2012, 22:13

merci de m'avoir répondu :) !

donc si on prend f=g

je trouve f-g = e^x/2 contraire à l'hypothèse f-g=0 donc hypothèse fausse ??

par **Nightmare** » 08 Mar 2012, 22:15

J'ai du mal à saisir le début de ton raisonnement :

"si on prend f=g".

Qu'entends-tu par là?

par **mikey** » 08 Mar 2012, 22:20

Nightmare a écrit:J'ai du mal à saisir le début de ton raisonnement :

"si on prend f=g".

Qu'entends-tu par là?

eh bien pour f=g f-g=0

(f'-g')/(f-g)=-1/2 et f-g = e^x/2 ce qui est différent de 0 car l exponentielle est strictement positive ..mais je ne suis pas sure ...

par **Nightmare** » 08 Mar 2012, 22:21

Ce que je ne comprends pas, c'est pourquoi tu commences ton raisonnement en disant "on prend f=g" alors que justement on veut montrer que f n'est pas automatiquement égal à g.

par **mikey** » 08 Mar 2012, 22:42

finalement j'ai fait : 2y'+y =0 ; y'= -1/2 y donc la solution est de la forme y = k e^-1/2x d'ou f-g = ke^-x/2 et dire que f=g revient a dire que f-g=0 donc la propriété est fausse car exponentielle est toujours croissante mais le problème c'est que si k = 0 eh bien f-g =0 ....fin je n'y arrive pas ...

par **mikey** » 08 Mar 2012, 22:46

[quote="mikey"]exponentielle est toujours croissante [quote]
heu je voulais dire "strictement positive "

par **Nightmare** » 08 Mar 2012, 22:55

Tu t'emmêles les pinceaux sur un plan logique.

Essaye de répondre à cette question :

Quel est la négation de la proposition" Si f et g vérifient 2f'+f=2g'+g alors f=g" ?

J'entends par négation le "contraire" de la proposition.

Par exemple :
la négation de "tous les chats sont gris" est "il y a au moins un chat qui n'est pas gris"
la négation de "Il pleut et il fait froid" est " Soit il ne pleut pas, soit il ne fait pas froid".

par **mikey** » 08 Mar 2012, 23:02

Nightmare a écrit:Tu t'emmêles les pinceaux sur un plan logique.

Essaye de répondre à cette question :

Quel est la négation de la proposition" Si f et g vérifient 2f'+f=2g'+g alors f=g" ?

J'entends par négation le "contraire" de la proposition.

Par exemple :
la négation de "tous les chats sont gris" est "il y a au moins un chat qui n'est pas gris"
la négation de "Il pleut et il fait froid" est " Soit il ne pleut pas, soit il ne fait pas froid".

d'accord ... eh bien on peut dire que la proposition est fausse car 2f'+f= 2g' +g n'entraine pas forcément f = g ?

par **Nightmare** » 08 Mar 2012, 23:08

Non, ce n'est pas ce que je voulais te faire dire.

Là où je voulais en venir, c'est que pour démontrer que la proposition "si f et g vérifient truc alors f=g" est fausse, il suffit de trouver deux fonctions f et g qui ne sont pas égales et qui vérifient truc. Es-tu d'accord?

Par exemple, la proposition "si x²=y² alors x=y" est fausse car x=1 et y=-1 vérifient x²=y² sans pour autant être égaux.

Autrement dit, on exhibe un contre-exemple.

Ce que je voulais dire avec mon histoire de la négation, c'est que le contraire de "si f et g vérifient truc alors f=g" est "Il existe deux fonctions f et g qui vérifient truc mais qui ne sont pas égales".

par **mikey** » 08 Mar 2012, 23:14

ahh ouii en effet j'étais loin du compte ..! je pensais qu'il fallait démontrer que cétait faux ! et pour trouver les deux fonctions il faut tester et voir si ça marche ? fin je veux dire , faut-il avoir recours à une méthode spécifique ?

par **Nightmare** » 08 Mar 2012, 23:24

Non tu n'étais pas si loin du compte, tout ce que tu as fait avec les histoires d'exponentielle est bon, ce qui ne va pas, c'est la mise en forme et ta façon de conclure.

On veut trouver deux fonctions f et g distinctes telles que 2f'+f=2g'+g.

On a alors deux méthodes :

1) En trouver deux "au hasard"

2) Chercher toutes les fonctions f et g qui conviendraient.

Ce que tu as fait toi, c'est la méthode 2). En effet, tu as montré que les fonctions qui vérifiaient 2f'+f=2g'+g étaient liées par la relation

où K est une constante quelconque.

Ceci implique en particulier qu'il existe une infinité de f et g qui conviennent, il suffit de prendre g(x) et K quelconques et le f(x) correspondant dans la formule ci-dessus.
Par exemple en prenant g(x)=x et K=6, alors f(x)=6exp(-2x)+x. On a bien 2f'+f=2g'+g.

On pourrait prendre g(x)=ln(x+5) et K=123, alors avec f(x)=123exp(-2x)+ln(x+5) on obtient bien encore 2f'+f=2g'+g

par **mikey** » 08 Mar 2012, 23:52

J'ai enfin compris :D !! il yen a en fait une infinité !! et elles fonctionnent toutes !! Mercii Beaucoup pour toute l'aide apportée ! Bonne soirée :) !

par **Nightmare** » 08 Mar 2012, 23:54

Je t'en prie, bonne soirée à toi aussi.

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