équation différentiel

[DarkChip]

je n'ais pas compris comment on résouds une équation du type:

y'(x)=x+y(x)
ou
y'(x)=exp(x)+y(x)

pourriez m'aider?

[Anonyme]

dans les équations différentielles de ce type (a(x)y(linéaires), il faut toujours trouver d'abord une solution de l'équation "homogène", où tu enlèves ce qui ne contient pas de y. Pour tes deux équations par exemple, c'est y'(x)=y(x) et la solution c'est y1(x)=constante*exp(x).

ensuite il faut trouver une solution particulière de ton équation. Pour ça, ya une méthode qui marche à tous les coups mais que tu dois pas connaitre si tu es au lycée(variation de la constante ca te dit qqch?). Mais quand l'équation est aussi simple, tu peux la trouver au feeling ou en cherchant une solution qui ressemble au terme en plus de l'équation homogène avec un polynome:
dans le premier cas c'est x donc tu peux chercher un polynome en x de la forme ax+b, ca te donne pour tout x a=x+ ax +b d'ou a=b et a=-1 donc une solution particulière est y2(x)=-x-1

et l'ensemble des solutions de ta première équation c'est y1+y2 c'est à dire
y(x)=constante*exp(x)-x-1 (tu peux vérifier que ca marche bien pour t'en assurer

pour l'autre, tu vois que le terme en plus de l'eq homogène c'est exp(x), alors tu peux chercher une solution particulière de la forme (ax+b)*exp(x)
ce qui te donne :
aexp(x)+(ax+b)exp(x)=exp(x)+(ax+b)exp(x)
ce qui donne a=1 et b on s'en fout donc on le prend nul(après simplification)
donc une solution particulière est x*exp(x)(et tu peux vérifier qu'elle marche bien)
et la solution finale est : constante*exp(x)+x*exp(x)

bon je sais pas si j'ai été très clair mais de toute façon ca doit plus ou moins être dans ton cours.
bonne chance

[DarkChip]

merci pour ta réponse

[allomomo]

Salut,


http://diverso.site.voila.fr/docs/sciences/maths/01.html