équation différencielle

[The fifi]

Bonjour,
Voila j'ai un exercice à faire pendant ces vacances et j'ai besoin d'aide ! J'espère que quelqu'un aura un peu de temps à m'accorder pour me sauver :) !
Donc voici l'énoncé :

Une étude sur le comportement d'organismes vivants placés dans une enceinte close dans un milieu nutritif et renouvelé en permanence, a conduit à stipuler que l'évolution de la population suit l'équation différentielle :
(E1) : N'(t) = 2 N(t) - 0.0045 [N(t)]²
t est exprimé en heure et N(t) représente nombre d'individus présents à instant t.
Nombre initial d'individus à l'instant t= 0 est 10^3.

I/ On se propose de remplacer (E1) par une équation différencielle plus simple à l'aide d'un changement de fonction connue.

On suppose N ne s'annule pas et on pose Y(t) = 1 / N(t)

a) Calculer dérivée Y en fontion N(t) et N'(t)
b ) Montrer N solution de (E1) si est seulement si Y est solution de (E2) : Y'(t) = -2 Y(t) + 0.0045
c) résoudre équation différencielle (E2)
d) en déduire expression générale (avec une constante) de N(t)
e) Montrer alors que, compte tenu de la condition initiale on a :
N(t) = 2 / ( 0.0045 - 0.0025e^-2t)

2/ Etude de la fonction N trouvée

On note C la courbe représentant N dans le plan rapporté à un repère orthogonal (O, i, j) (unité graphique 5 cm pour une heure sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 100 individus sur l'axe des ordonnées)

a) étudier les variation de N sur [0, +infini[
b) montrer que C admet une asymptote (d) en +infini
c)déterminer une équation de (T) tangente à C au point d'abscisse 0.
d)Quel est le pourcentage de la population initiale obtenu à l'instant t?
e)Représenter (T) , (d) et C
f)déterminer graphiquement puis par un calcul, l'intant t ou la population initiale aura diminué de moitié.

Donc voici ce que j'ai fait pour le moment :
a) Y(t) est de la forme 1/u donc Y'(t) =- N'(t) / [N(t)]²
b) Y(t) = -2 Y(t) + 0.0045
-N'(t) / [N(t)]² = -2 (1/ N(t)) + 0.0045
- N'(t) = -2/N(t) +0.0045 .[N(t)]²
N'(t) = 2/N(t) -0.0045.[N(t)]²

Je ne trouve pas pareil que E1 alors que normalement il me semble que cela doit être le cas pourriez vous me dire ce qu'il ne vas pas s'il vous plait !! merci d'avance

[Quidam]

b) Y(t) = -2 Y(t) + 0.0045
-N'(t) / [N(t)]² = -2 (1/ N(t)) + 0.0045
- N'(t) = -2/N(t) +0.0045 .[N(t)]²
N'(t) = 2/N(t) -0.0045.[N(t)]²

Je ne trouve pas pareil que E1 alors que normalement il me semble que cela doit être le cas

J'ai deux remarques. D'abord, tu pars de la conclusion ! Cela peut se faire, mais c'est un peu dangereux ! Mieux vaut partir de ce qui est connu et essayer d'arriver à l'équation demandée !
Ma deuxième remarque est ton erreur de calcul !
Pour passer de :
-N'(t) / [N(t)]² = -2 (1/ N(t)) + 0.0045
à
- N'(t) = -2/N(t) +0.0045 .[N(t)]²
tu voulais multiplier les deux membres par [N(t)]², soit :
(-N'(t) / [N(t)]²)*[N(t)]² = -2 (1/ N(t))*[N(t)]² + 0.0045*[N(t)]²
et ceci donne :
-N'(t) = -2 (N(t)) + 0.0045*[N(t)]²
et finalement :
N'(t) = 2 (N(t)) - 0.0045*[N(t)]²
Et pas ce que tu as écrit !

Pour revenir à ma première remarque, je dirais qu'une fois que tu as calculé Y'(t), tu dois essayer de remplacer N(t) par une expression en fonction de Y(t) et N'(t) par une expression fonction de Y(t) et Y'(t) :
On a Y(t)=1/N(t), d'où l'on tire : N(t)=1/Y(t)
et Y'(t)=-N'(t)/[N(t)]² d'où l'on tire : N'(t)=-Y'(t)*[N(t)]²=-Y'(t)/[Y(t)]²

On peut donc opérer les remplacement :
N'(t) = 2 (N(t)) - 0.0045*[N(t)]²
devient :
-Y'(t)/[Y(t)]² = 2 (1/Y(t)) - 0.0045*[1/Y(t)]²
soit, en multipliant tout par [Y(t)]² :
-Y'(t) = 2 Y(t) - 0.0045
soit finalement :
Y'(t) = -2 Y(t) + 0.0045
qui est bien l'équation à laquelle on souhaitait arriver !

[The fifi]

en faite je suis partie de la conclusion car dans l'énoncé c'est écrit " montrer que N est solution de (E1) si et seulement si Y est solution de (E2) donc moi j'ai compris en premier que Y doit être solution de E2 pour que N soit solution de E1 par conséquent j'ai pris E2 en premier ! Mais cela est seulement dangereux mais pas inexact ?!
Merci pour mon erreur de calcul ;)

c) (E2)= Y'(t) = -2 Y(t) +0.0045
forme y'= ay +b avec a=-2 et b= 0.0045
Y(t) = ke^ax - b/a
Y(t) = ke^-2x - 0.0045/-2
Y(t) = ke^-2x + 2.25*10^-3
c'est bon ?

d) pour cette question je ne vois pas ce qu'il veut que l'on fasse "expression générale" !!?? besoin d'aide s'il vous plait.

[Quidam]

en faite je suis partie de la conclusion car dans l'énoncé c'est écrit " montrer que N est solution de (E1) si et seulement si Y est solution de (E2) donc moi j'ai compris en premier que Y doit être solution de E2 pour que N soit solution de E1 par conséquent j'ai pris E2 en premier ! Mais cela est seulement dangereux mais pas inexact ?!

Tu as partiellement raison ! Effectivement, le "si et seulement si" t'oblige à travailler par équivalences et tu peux bien partir du côté que tu veux. Donc j'ai eu tort de dire cela.
D'un autre côté, le "si et seulement si" ne t'oblige pas à travailler dans le sens où tu l'as fait. Tu semble croire que "A ssi B" signifie B entraîne A. Mais cela signifie "B entraîne A" ET "A entraîne B" ; de toutes manières, ssi signifie équivalence, donc si A est vrai, B l'est aussi, et si B est vrai, A l'est aussi !

Y(t) = ke^-2x + 2.25*10^-3
c'est bon ?

Tu dois savoir vérifier seule. Que faut-il vérifier ? Eh bien que "Y'(t) = -2 Y(t) +0.0045"
Y'(t)=-2ke^(-2x)
et -2Y(t)+0.0045 = -2ke^(-2x)-4.5*10^(-3)+0.0045=Y'(t)
Donc c'est OK !

d) pour cette question je ne vois pas ce qu'il veut que l'on fasse "expression générale" !!??

"expression générale" signifie "toutes les solutions dans une seule expression" !
Tu as trouvé l'expression générale des solution de Y'(t) = -2 Y(t) +0.0045 :
Y(t) = ke^-2x + 2.25*10^-3

d) en déduire expression générale (avec une constante) de N(t)
On te demande une formule donnant toutes les solutions possibles de E1 :
N(t)=

La question suivante te demandera de trouver l'unique solution du problème particulier que tu étudies.

e) Montrer alors que, contenu de la condition initial on a :
N(t) = 2 / ( 0.0045 - 0.0025e^-2t)

Montrer que, compte tenu (c'est-à-dire "si l'on tient compte") de la condition initiale ...
C'est quoi la "condition initale" ?

[The fifi]

d) Y'(t) = -2 Y(t)+0.0045 : Y(t) = ke ^-2x + 2.25*10^-3
N(t) = 1 / (ke^-2x + 2.25*10^-3)

e) pour moi la condition initiale c'est N(o) = 10^3.

[Quidam]

d) Y'(t) = -2 Y(t)+0.0045 : Y(t) = ke ^-2x + 2.25*10^-3
N(t) = 1 / (ke^-2x + 2.25*10^-3)

Je viens de m'apercevoir d'une faute de frappe que tu as faite abondemment et que j'ai consciencieusement recopiée. Désolé !

Y(t) est une fonction ...de t !
Donc, bien sûr, et pas

et :

e) pour moi la condition initiale c'est N(o) = 10^3.

Oui, donc,... Tu peux conclure !

[The fifi]

e) N(0)=10^3 donc N(o) = 1 / (ke^-2*0 + 2.25*10^-3)
= 1/ ( k + 2.25*10^-3)
cherchons k : 10^3 = 1/ (k+ 2.25*10^-3)
donc k = 1/ 10^3 - 2.25*10^-3 = - 1.25*10^-3
ainsi si on remplace k par -1.25*10^-3 on obtient bien 10^3.

par contre je ne vois pas comment trouver N(t) = 2 / 0.0045 - 0.0025e^-2t , pourriez vous m'aider ?!

[Quidam]

e) N(0)=10^3 donc N(o) = 1 / (ke^-2*0 + 2.25*10^-3)
= 1/ ( k + 2.25*10^-3)
cherchons k : 10^3 = 1/ (k+ 2.25*10^-3)
donc k = 1/ 10^3 - 2.25*10^-3 = - 1.25*10^-3
ainsi si on remplace k par -1.25*10^-3 on obtient bien 10^3.

par contre je ne vois pas comment trouver N(t) = 2 / 0.0045 - 0.0025e^-2t , pourriez vous m'aider ?!

Tu as trouvé que :

Et tu as compris que N(0)=10^3, donc :


Combien de valeurs de k sont-elles possibles ? Trouve k !

[The fifi]

k = -1.25*10^-3
et alors, je vois pas??!!

[Quidam]

k = -1.25*10^-3
et alors, je vois pas??!!

Oui ! Désolé, j'avais mal lu à cause de la fin de ton post où tu disais que tu ne savais pas terminer ! Oui, oui k=-1.25*10^(-3). Ben tu n'as qu'à faire une toute petite manipulation du résultat que tu as obtenu pour retomber sur ce que propose l'énoncé. Ton résultat est bien égal à celui de l'énoncé !

[The fifi]

oui donc si jamais je remplace k par -1.25*10^-3 cela donne:
N(t) = 1 / (-1.25*10^-3 e^-2t + 2.25*10^-3)
et donc je vois pas comment trouver
N(t) = 2/ 0.0045 - 0.0025 e^-2t

Je suis peut être près de la solution mais la j'ai du mal a la voir :) !!!

[Quidam]

oui donc si jamais je remplace k par -1.25*10^-3 cela donne:
N(t) = 1 / (-1.25*10^-3 e^-2t + 2.25*10^-3)
et donc je vois pas comment trouver
N(t) = 2/ 0.0045 - 0.0025 e^-2t

Je suis peut être près de la solution mais la j'ai du mal a la voir !!!

Quand on multiplie le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre non nul, on obtient une fraction qui lui est égale !

Exemple :



Ca fait un moment que tu sais cela, non ?

Alors :

Non ?

[The fifi]

ha....mais oui!
mais en faite moi je pensais a un simple calcul!!!!
merci!
il nous reste plus qu' s'attaquer a la varitaion de N(t)
cela signifie qu'il faut faire les limites et la dérivée pour pouvoir obtenir un tableau de signe nn?!!

[Quidam]

ha....mais oui!
mais en faite moi je pensais a un simple calcul!!!!
merci!
il nous reste plus qu' s'attaquer a la varitaion de N(t)
cela signifie qu'il faut faire les limites et la dérivée pour pouvoir obtenir un tableau de signe nn?!!

Un tableau de signes seulement pour étudier la dérivée ? Pas nécessaire : le sens de variation de N est évident ! Réfléchis un peu ! Pas besoin de limites pour ça non plus ! De toutes façons, la dérivée est triviale !
Il faut bien sûr chercher la limite de N en + l'infini : évident également !

Bon courage !

[The fifi]

a) pour les variations de N en [0;+ infini[
0 +infini
N' -

N 1000 \ -infini (mais ça s'arrète à 444)

C'est pas trop compréhensible mais je ne vois pas comment faire un tableau :s

[Quidam]

a) pour les variations de N en [0;+ infini[
0 +infini
N' -

N 1000 \ -infini (mais ça s'arrète à 444)

C'est pas trop compréhensible mais je ne vois pas comment faire un tableau :s

Quand ,
Quand ,
Quand ,
Quand ,

Tout cela est très très évident !

Pour le sens de variation, c'est pareil !
N(t) est la composée des fonctions :
u(t)=-2t décroissante
v(u)=e^u croissante
w(v)=0.0045-0.0025 v décroissante
y(w)=2/w décroissante
donc N(t) est décroissante ! Pas besoin de dérivée !

[The fifi]

Ou sinon avec la dérivée :
N'(t) = (-0.01e^-2t)/(0.0045-0.0025e^-2t)²

Dénominateur positif, numérateur négatif donc N(t) strictement décroissante sur [0;+oo[

:)

[Quidam]

Ou sinon avec la dérivée :
N'(t) = (-0.01e^-2t)/(0.0045-0.0025e^-2t)²

Dénominateur positif, numérateur négatif donc N(t) strictement décroissante sur [0;+oo[

Si tu veux ! Moi je préfère faire simple, mais c'est toi qui vois...

[The fifi]

b) sachant que la limite en + infini est 444.44444 alors il y a une asymptote en + infini .

c) pour la tangente je vois pas trop !! :s
l'équation d'une tangente est f'(a) (x-a) + f(a)
donc la l'équation de la tangente T à la courbe C en a=0 .
y= N'(0) (x-0 ) + N(0)