Equation differencielle

par **khaoua2** » 05 Juil 2006, 13:39

Bonjour,

on a cette equation differentielle:

y'' - 5y' +6y=3cos(2x - pi/2 )

on résoud l'equation r^2 -5r +6=0, on obtient 2 et 3 pour solutions
donc y= alfa e^2x + beta e^3x.

mais il reste 3cos(2x - pi/2 )
je trouve que c'est egal a 3sin (2x), puis j'ai mis 3sin(2x) dans l'equation differentielle cela ne donne pas 3cos(2x -pi/2)

merci pour votre aide
a bientot

par **khaoua2** » 05 Juil 2006, 14:14

On n'a pas résolu ce genre d'equations par des nombres complexes en classe.
Ya t-il une autre facon?
merci pour tout

par **nox** » 05 Juil 2006, 14:15

euh je n'ai pas trop saisi la démarche utilisée mais pour ma part pour ce genre d'équation j'utilise la transformée de Laplace (déjà étudiée?) - ou Maple :ptdr:

Cependant pour que l'équation puisse avoir un sens il manque les conditions limites

par **Mikou** » 05 Juil 2006, 14:18

lol nox, elle ne l'a surement pas etudié.
Elle utilise la methode du polynome caracteristique ( equa diff lineaire dordre 2 )

par **Sdec25** » 05 Juil 2006, 14:19

La solution d'une équation différentielle est de la forme solution générale sans 2nd membre + solution particulière avec 2nd membre.

3cos(2x - pi/2) = 3sin(2x)
On a donc y'' -5y' +6y = 3sin(2x)

La solution particulière est sûrement de la forme A.cos(2x) + B.sin(2x)

par **nox** » 05 Juil 2006, 14:24

De toute facon sans les conditions limites on ne peut rien donner de magique ^^

par **khaoua2** » 05 Juil 2006, 14:25

oui c'est ca le probleme quand je remplace sin2x dans l'equation ca ne donne pas le cos(2x -pi/2)
donc on ne peut utiliser la formule precedente..

par **fonfon** » 05 Juil 2006, 14:26

Salut, je serais plutôt d'accord avec la reponse de Sdec25 car comme l'a dit mikou je pense pas qu'elle a vu la transformé de Laplace

par **nox** » 05 Juil 2006, 14:26

comment trouves tu 3sin(2x)?

edit : fonfon et sdec25 je le craignais. Alors le calcul est plus long et il nous manque toujours des informations pour aller au bout de toute facon.

par **Sdec25** » 05 Juil 2006, 14:29

khaoua2 a écrit:oui c'est ca le probleme quand je remplace sin2x dans l'equation ca ne donne pas le cos(2x -pi/2)
donc on ne peut utiliser la formule precedente..

?? Je n'ai pas très bien compris où est le problème.
On peut écrire cos(2x -pi/2) = sin(2x) et après on n'utilise plus cos(2x -pi/2).

Sinon oui si on n'a pas les conditions limites on peut trouver un type de solution pas LA solution.

Et les TL on voit ça après le BAC, c'est vrai que c'est pratique mais ça vaut le coup pour les équations très compliquées.

par **khaoua2** » 05 Juil 2006, 14:33

pas les conditions limites

Que voulez vous dire par cela, je n'ai pas saisi

par **nox** » 05 Juil 2006, 14:41

Ton équation différentielle décrit l'évolution d'une grandeur y en fonction de x.

Et tu cherches une fonction qui te donne cette évolution...mais encore faut-il savoir d'où on part et où on va.

Bon ca c'est abstrait (et surement approximatif)

Pour trouver une unique solution il faut avoir au moins une valeur ponctuelle de la fonction (et meme de sa dérivée en l'occurence).

Pour résumer il nous faut par exemple y(0) et y'(0)

par **nox** » 05 Juil 2006, 14:54

voila la solution générale avec C1 et C2 les conditions limites :

Tu as donc une infinité de solutions puisque tu peux remplacer C1 et C2 par ce que tu veux ^^

Pour avoir une solution unique, il faut imposer des contraintes supplémentaires à ta fonction : la faire passer par un point précis avec une dérivée précise.
Ces contraintes sont appelées "conditions limites"

par **Sdec25** » 05 Juil 2006, 15:10

Pour récapituler :
On cherche la solution sans second membre, en utilisant l'équation caractéristique et on trouve des exponentielles à une constant près (ou plutôt 2 constantes).
Ensuite on cherche la solution particulière qui est de la forme A.cos(2x) + B.sin(2x) et on ajoute les 2 solutions obtenues (cf post juste au dessus :++: ).

Remarque : une équation du nième ordre admet n constante indéterminées.
Celle-là est du 2nd ordre donc on a 2 constantes indéterminées, d'où la nécessité des conditions limites (ou conditions initiales) pour trouver une solution sans constante.

par **nox** » 05 Juil 2006, 15:17

Sdec25 a écrit:Ensuite on cherche la solution particulière qui est de la forme A.cos(2x) + B.sin(2x) et on ajoute les 2 solutions obtenues (cf post juste au dessus :++: ).

le truc c'est que la les 3/52 et -15/52 faut aller les chercher loin hein ^^

reste la variation de la constante meme si à l'ordre 2 c'est un peu plus relou :p

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