Equation différencielle

par **Anonyme** » 18 Jan 2012, 18:58

Bonjour à tous

j'ai un exercice de maths assez court à faire mais je ne sais pas vraiment comment le résoudre, je ne sais pas comment commencer, je viens donc solliciter votre aide

. Bien entendu je ne suis pas à la recherche de réponse toutes faites, ce serait inutile.
Voici l'énoncé :

Partie A

On veut déterminer l'ensemble des fonctions numériques g, dérivables sur R, vérifiant pour tout réel x:

g'(x) - g(x) = x - (e - 2)/(e - 1) (1)

1) Determiner l'unique fonction affine g(indice 0) vérifiant (1)

2) On note h la fonction : h = g - g(indice 0)
Démontrer que g vérifie (1) si et seulement si h est solution de l'equation différencielle:
y' - y =0 (2)

3) Donner l'ensemble de solutions de l'equation différencielle (2) et en déduire l'ensemble des fonctions g vérifiant (1)
Determiner la fonction vérifiant (1) qui s'annule en 0

Partie B (indépendante de la A)

Soit f une fonction deux fois dérivable ( j'ignore ce que cela signifie) sur R. On suppose que f(0)=5, f'(0)=-3 et pour tout réel x:
f'(x)+ f''(x)= -2(sinx+cosx)

1) Résoudre sur R en posant z=y' l'equation différencielle ( E) : y'+y''=0

2) Determiner les constantes a et b telles que la fonction g définie sur R par g(x)=acosx+bcosx vérifie pour tout réel x:
g'(x) + g"(x) = -2(sinx+cosx)

3) Démontrer que f est solution de l'equation différencielle y'+y" = -2(sinx+cosx) si et seulement si f - g est solution de (E)

4) En déduire f

Merci d'avance !

Je vais réfléchir de mon côté et des que j'ai un élément de réponse je le poste

par **Carpate** » 18 Jan 2012, 19:05

ababo a écrit:Bonjour à tous j'ai un exercice de maths assez court à faire mais je ne sais pas vraiment comment le résoudre, je ne sais pas comment commencer, je viens donc solliciter votre aide . Bien entendu je ne suis pas à la recherche de réponse toutes faites, ce serait inutile.
Voici l'énoncé :

Partie A

On veut déterminer l'ensemble des fonctions numériques g, dérivables sur R, vérifiant pour tout réel x:

g'(x) - g(x) = x - (e - 2)/(e - 1) (1)

1) Determiner l'unique fonction affine g(indice 0) vérifiant (1)

2) On note h la fonction : h = g - g(indice 0)
Démontrer que g vérifie (1) si et seulement si h est solution de l'equation différencielle:
y' - y =0 (2)

3) Donner l'ensemble de solutions de l'equation différencielle (2) et en déduire l'ensemble des fonctions g vérifiant (1)
Determiner la fonction vérifiant (1) qui s'annule en 0

Partie B (indépendante de la A)

Soit f une fonction deux fois dérivable ( j'ignore ce que cela signifie) sur R. On suppose que f(0)=5, f'(0)=-3 et pour tout réel x:
f'(x)+ f''(x)= -2(sinx+cosx)

1) Résoudre sur R en posant z=y' l'equation différencielle ( E) : y'+y''=0

2) Determiner les constantes a et b telles que la fonction g définie sur R par g(x)=acosx+bcosx vérifie pour tout réel x:
g'(x) + g"(x) = -2(sinx+cosx)

3) Démontrer que f est solution de l'equation différencielle y'+y" = -2(sinx+cosx) si et seulement si f - g est solution de (E)

4) En déduire f

Merci d'avance !
Je vais réfléchir de mon côté et des que j'ai un élément de réponse je le poste

"je ne sais pas comment commencer" Sans hésiter, par la première question !
Une fonction affine est de la forme x --> ax + b
Détermine les constantes a et b en écrivant que

est solution de l'équation différentielle (E).

par **romani01** » 20 Jan 2012, 01:06

Salut
Sur

la fonction

est deux fois
dérivable .En effet

sur

.
La fonction f' est elle meme dérivable sur

et sa dérivée sur le meme ensemble

.On pourrait continuer trois fois dérivable....Ce n'est pas le cas pour toutes les fonctions.

par **Anonyme** » 23 Jan 2012, 22:20

Bonsoir merci pour vos reponses :)

fonction affine : y = ax + b

et apres je vois pas ?
pouvez vous m'aidez s'il vous plait
et pour les questions suivantes aussi

par **Anonyme** » 23 Jan 2012, 22:27

pour la question A 3) y'-y=0 <=> y'=y

il existe une seule fonction définie et dérivables sur R solution de l'equation differencielle y'=y

par **Anonyme** » 23 Jan 2012, 22:40

B 1)
y'+y''=0 <=> y'=-y"
Résoudre cette equation sur R c'est chercher toutes les fonctions f définies et dérivables sur R telles que pour tout réel x de R :
f'(x)=af"(x)

par **romani01** » 24 Jan 2012, 01:39

Salut Ababo.
Partie A.
Vous n'etes pas arrivé à déterminer la fct affine

.
Vous avez

....(1) .En posant

donc

et en remplaçant dans (1) et en identifiant vous arriverez à trouver
a=-1 et

.
Pour la question suivante ,il vous faudra montrer l'équivalence:

.
Vous montrez d'abord

.
Vous n'avez qu'à utiliser ce qu'on vous donne

(vous connaissez

).
Vous démontrez ensuite l'implication

.
Sauf erreur.

par **Anonyme** » 24 Jan 2012, 17:24

Bonsoir romani merci de votre visite, j'espère que ce soir vous serez là car je dois rendre mon devoir demain.

Donc pour la question 1)
On pose g0(x) = ax+b et g'0(x)= a
on remplace dans (1)
g'(x) - g(x) = x - (e - 2)/(e - 1)

=> a -ax-b = x - (e - 2)/(e - 1)

selon vous on trouve a=-1 et b= (-1)/(e-1)
donc l'unique fonction affine g(indice 0) vérifiant (1) est y= -1x + (-1)/(e-1) ?

pour la question 2)

on a h = g-g0
donc g(x)= h(x) - g0(x)
parcontre je vois pas comment on montre ça g'(x) - g(x) = x - (e - 2)/(e - 1)=> h'(x)-h(x)=0 avec ça g(x)= h(x) - g0(x)

et l'implication suivante

par **Anonyme** » 24 Jan 2012, 21:47

j'attends vos réponse :)

par **romani01** » 24 Jan 2012, 23:13

Salut.
Vous avez

.En dérivant

.
Vous remplacez pour montrer la 1ere implication.

par **Anonyme** » 24 Jan 2012, 23:17

je comprends rien j'ai envie de jeter l'éponge

par **romani01** » 24 Jan 2012, 23:28

Surtout pas.

par **Anonyme** » 24 Jan 2012, 23:30

je le finirai jamais à temps

par **romani01** » 24 Jan 2012, 23:32

On vous a donné h(x)=g(x)-go(x) donc g(x)=h(x)+go(x) et en dérivant g'(x)=h'(x) +g'o(x).Comme
g'o(x)=-1 on a g'(x)=h'(x)-1;

par **romani01** » 24 Jan 2012, 23:33

On fera ce qu'on pourra.L'essentiel est de comprendre et surtout faire des efforts.

par **Anonyme** » 24 Jan 2012, 23:37

h'(x)-h(x)=g'(x) - g'0(x)- ( g(x) - g0(x)) = x - (e - 2)/(e - 1)
or g'0(x)-g0(x)=x - (e - 2)/(e - 1)
d'où h vérifie y'-y=0

les fonctions :
h(x)=Ce^x
toutes ces fonctions vérifient
h'(x)-h(x)=0
et
(Ce^x)'-Ce^x=0

pour la question 2 j'ai ceci ci dessus

par **Anonyme** » 24 Jan 2012, 23:44

et aussi pour la question 1)
g0(x)= -x + 1(1-e)

par **romani01** » 24 Jan 2012, 23:50

est correct.Mais vous n'avez pas démontre la 1ere implication.
Pour trouver g tu utilises g(x)=h(x) +go(x).

par **Anonyme** » 24 Jan 2012, 23:53

g(x)=h(x) +go(x)
g(x)= Ce^x -x + 1/(1-e) ?

par **romani01** » 25 Jan 2012, 00:03

Voilà!c'est correct.N'oubliez pas de montrer la 1ere implication car vous avez si et seulement si.