équation du deuxième degré

[rubi]

Bonjour,

les sommes et produits des racines ne s'appliquent que lorsque le delta de l'équation ax2+bx+c = 0 est positif ou aussi lorsqu'il vaut zéro ?

je vous remercie,
rubi

[Lostounet]

Hello,

Tant que deux racines existent, on peut parler de leur somme et produit. Lorsque delta est nul, les deux racines sont "confondues". On a une solution double:

Une manière simple de le voir est d'utiliser le fait que, si delta est nul, on peut diviser l'équation des deux cotés par "a", pour se ramener à:

En développant,

Tu peux bien voir la forme x^2 - Sx + P avec
et

[rubi]

merci pour votre explication. Cela m'aide beaucoup à la compréhension des exercices.

[rubi]

je voulais également savoir comment on obtient la forme canonique et dans quel cas cette formule est utilisée.
a [(x-α)^2]+β
α=(-b)/2a
β=(-∆)/4a

merci

[zygomatique]

Bonjour,

les sommes et produits des racines ne s'appliquent que lorsque le delta de l'équation ax2+bx+c = 0 est positif ou aussi lorsqu'il vaut zéro ?

je vous remercie,
rubi

salut

et tu n'es pas capable de le vérifier par toi-même ....

[Lostounet]

je voulais également savoir comment on obtient la forme canonique et dans quel cas cette formule est utilisée.
a [(x-α)^2]+β
α=(-b)/2a
β=(-∆)/4a

merci

Re Rubi,

Personnellement, je ne retiens jamais aucune formule mais je retrouve la forme canonique à chaque fois.

Voici un exemple simple, pour ne pas se noyer dans des lettres:
Considérons

Étape 1: On prend le "a" en facteur, ici il vaut 2


Étape 2: On observe les deux premiers termes dans la parenthèse qui sont . C'est le début du développement de l'identité mais malheureusement il manque le "1".

Étape 3: On a vu qu'il manquait le 1. On va donc faire + 1 - 1 à l'intérieur de la parenthèse (tu verras pourquoi)



On a pu former l'identité remarquable !



Etape 4 (finale): On développe le "2" comme suit



=

Magie ! C'est la forme canonique


Tu me diras... et si on voulait le faire avec a, b, c et delta et tout le tralala, je te montre ci-dessous que c'est exactement ces mêmes 4 étapes !

ax^2 + bx + c

Etape 1: Prenons a en facteur


Etape2: Observation, on constate que est le début du développement de

Malheureusement, il nous manque . On va donc faire dans la parenthèse

Etape 3: On fait ce qu'on a dit:




(N'aie pas peur pour ces calculs... on a fait exactement les mêmes avec l'exemple !)

Etape 4 (finale) On développe le a et on réduit les fractions extérieures au même dénominateur

=

=

=


Et le delta/4a tu le vois, ainsi que le b/a. Inutile de retenir ces formules: avec des nombres, on retrouve très simplement ce résultat (avec des lettres, je te l'accorde, c'est un petit peu plus dur mais faisable)

[Lostounet]

salut

et tu n'es pas capable de le vérifier par toi-même ....

Certaines personnes qui demandent de l'aide n'ont pas encore forcément tous les réflexes mathématiques que l'on attend d'elles. Je trouve beaucoup plus instructif de leur expliquer comment parvenir au résultat pour que, la prochaine fois, elles aient ces réflexes (plutôt que de leur dire ... "ben... essaye tout(e) seul c'est évident")

[rubi]

Bonjour à vous Zygomatique,

Chaque personne possède ses difficultés. Personnellement, je n'ai jamais compris ce thème " somme et produit des racines". Pourtant j'ai une volonté de vouloir m'instruire et comprendre même si je suis en vacance. Ne postez donc pas ce genre de commentaire inutile.

Vous êtes peut-être l'exception, un génie qui peut tout comprendre de ce monde !!! Mais vu votre comportement, je ne pense pas !!! Cependant, si vous êtes réellement un géni, je pense que vous aviez mieux à faire qu'écrire ce genre de commentaire ! Ce site est conçu pour aider ou pour comprendre des matières mais pas pour passer son temps !!!

Quand à vous, Lostounet, je vous remercie encore une fois pour vos explications !!

[Lostounet]

Quand à vous, Lostounet, je vous remercie encore une fois pour vos explications !!

De rien.
Concentre-toi sur mon post, je trouve qu'il est bien expliqué et qu'il te permettra de comprendre une bonne fois pour toutes la forme canonique ! (c'est un peu long car détaillé)

Si tu as des questions, n'hésite pas.

[rubi]

Lostounet, je ne trouve pas que vos explications sont longues mais plutôt structurées et très compréhensibles.
merci à vous.

[zygomatique]

MDR !!!

et soyons sérieux ....

ma remarque s'adressait à ta première question !!! (d'ailleurs je la cite)

que le discriminant soit nul ou non tu connais grace aux formules les racines ... il suffit alors de savoir multiplier et additionner ces deux racines pour vérifier ce que valent la somme et le produit des racines .... et comparer avec les coefficients du trinome ....


quant à la forme canonique en tapant cette expression dans n'importe quel moteur de recherche on trouve un paquet de réponses ...


dans les deux cas c'est un travail personnel et autonome qui te fera progresser ... (et si ensuite dans ce travail de recherche tu as un pb alors une aide précise t'apporteras plus que des réponses toutes faites)

ce n'est pas tant de vouloir agir qui importe, mais dans quel sens agir !!! (brasser de l'air n'apporte rien)

Étape 3: On a vu qu'il manquait le 1. On va donc faire + 1 - 1 à l'intérieur de la parenthèse (tu verras pourquoi)

ça ne veut pas dire grand chose ...

par contre pour tout nombre a on a : a = a + 0

une autre façon de le dire : le seul nombre que l'on puisse ajouter à une quantité sans en changer la valeur est 0

donc quand on reconnaît le début d'une identité remarquable x^2 -2x = x^2 - 2x + 0 alors on remplace 0 par 1 - 1 pour faire apparaître l'identité complète et faire une factorisation partielle
(et on n'a pas changer la valeur de x^2 - 2x en ajoutant 0 = 1 - 1)


d'ailleurs écrire b/a = 2 * b/(2a) participe du même principe ... (la aussi question : et pourquoi fait-on cela ?)

il suffit de savoir que tout nombre est le double de sa moitié


maintenant la question finale : quelle est le principe général qui domine dans la mise sous forme canonique ?