équation a deux inconnus

[Seldon²]

Bonjour, une autre question de mon dm me pose problème
La voici :
a/ Justifier brièvement pourquoi φ et ψ vérifient φ^2=φ +1 et ψ^2=ψ +1 .
( Indication : Soit par calculs, soit en revenant à leur définition vue au 1).)

b/ On déduit immédiatement du a/ que, pour tout n∈ℕ , φ n+2=φn+1+φn
et ψ n+ 2=ψ n+1+ψn
On considère alors la suite (un) définie, pour tout entier naturel n, par un=a φn+b ψn
Montrer que pour tout n∈ℕ , un+ 2=un+1+un

c/ Déterminer a et b de sorte que u1=1 et u2=1

J ai réussi la a) et je pense avoir aussi réussi la b) : j'ai déduis de l'énoncé que
un+2 = a φn+2 +b ψn+2
un+2 =a φn+1 + a φn + b ψn+1 +b ψn
un+2 =un+1 + un et
un = a φn+b ψn et un+1 = a φn+1 +b ψn+1
DONC un+2 = un+1 + un
a φn+1 + a φn + b ψn+1 +b ψn = a φn+1 +b ψn+1 + a φn+b ψn

Et pour le c) on sait que u1=1 = u2 et que un=a φn+b ψn
DONC j'ai remplacé un par 1 , φn et ψn par les données que l'on avait eu précédemment dans le dm soit φ = (1+sqrt(5))/2 ET ψ = (1-sqrt(5))/2
ce qui fait 1 = a(1+sqrt(5))/2 + b(1-sqrt(5))/2 sauf que je n'arrive pas à résoudre cette équation a deux inconnus

[catamat]

Bonjour
Il y a deux équations donc un système d'équations ayant pour inconnues a et b. C'est :
U1=1
U2=1

Tu n'as utilisé que lapremière

[Seldon²]

D'accord je vois, je peux alors isoler une des inconnus dans la première équation et l'insérer dans la seconde équation ?

[catamat]

Oui mais soustraire les deux équations donne un résultat sympa...
Car idem pour ...

[Seldon²]

euh le truc c est que je comprend pas trop mon erreur j ai essayé plusieurs trucs mais je trouve pas 1 mais 0 ou φ
Je pense que mon erreur viens du fait que je n'arrive pas à trouver φn+1 ou ψn+1 car il n'y a pas de n dans la formule de la suite. En plus, c est des données qui me sont nécessaire pour le prochaines questions. donc je veais vraiment etre bloqué sans.

[Pisigma]

Bonsoir,



en développant, on trouve bien 1

[catamat]

euh le truc c est que je comprend pas trop mon erreur j ai essayé plusieurs trucs mais je trouve pas 1 mais 0 ou φ
Je pense que mon erreur viens du fait que je n'arrive pas à trouver φn+1 ou ψn+1 car il n'y a pas de n dans la formule de la suite. En plus, c est des données qui me sont nécessaire pour le prochaines questions. donc je veais vraiment etre bloqué sans.

Le problème peut provenir d'une mauvaise écriture des expressions. Je vais utiliser le Latex pour essayer de clarifier :

On a

donc

d'où l'équation
On a de même

Sommes nous d'accord là dessus ?

Je proposais de soustraire membre à membre ces deux égalités.

[Seldon²]

Oui, j'ai tout bien relu et c'est bon j'ai fini l'exercice. Merci beaucoup pour votre aide.