Equation complexe

[john david]

Bonjour,

Voila une petite équation complexe qui me fait bloquer :

(x+iy)² = 1+i


Il faut donc trouver tous les réels x et y qui vérifient l'équation ci dessus.
J'ai vainement essayé par identification mais sans aucun résultat...

Si vous pouviez me mettre sur la piste ;D

Merci d'avance

[gol_di_grosso]

Bonjour,
Tu l'écris sous la forme a+bi en fonction de x et y.
Ensuite plusieurs cas suivant que x y sont nuls...

[john david]

J'arrive à

x²-y² = 1
2xy = 1

Mais après c'est la mort pour résoudre

[magnolia86]

En plus de cela, utiliser les modules des deux nombres complexes (x+iy)² et 1+i :id:

[john david]

Qu'entends tu par utiliser les modules des deux complexes ?

rac x²+y² = rac 2 ?

Car la question suivante de mon exercice est justement de déterminer le(s) module(s) et le(s) argument(s) des solutions x+iy de cette équation.

Et puis dans mon système j'ai x²-y² et non pas x²+y² .

[magnolia86]

Qu'entends tu par utiliser les modules des deux complexes ?

rac x²+y² = rac 2 ?

oui, et donc x²+y² = 2

Et puis dans mon système j'ai x²-y² et non pas x²+y² .

Oui, justement tu as x²-y²=1 et maintenant x²+y²=2 , d'où x²=... et y²=...
Ensuite il faut encore faire un petit effort pour obtenir x=... et y=...

Attention, il n'y a que 2 solutions à ton équation :id:

[john david]

J'arrive à

x² = 3/2
y² = 1/2

D'où

x = +rac (3/2) ou -rac (3/2)
y = + rac (1/2) ou -rac (1/2)

Mais après quand je refais le calcul je ne retombe pas sur 1+i
Donc je revérifie tout mes calculs ;)

Sinon n'est ce pas bizarre alors que j'avais déjà 2 équations pour 2 inconnues de devoir en trouver une 3e pour résoudre le système ? Je trouve ça un peu détourné même si au final c'est presque juste chez moi ^^

[magnolia86]

Mais après quand je refais le calcul je ne retombe pas sur 1+i
Donc je revérifie tout mes calculs

ne pas oublier que 2xy=1, autrement dit x et y ont le même signe.
Maintenant, tu peux conclure :we:

Sinon n'est ce pas bizarre alors que j'avais déjà 2 équations pour 2 inconnues de devoir en trouver une 3e pour résoudre le système ? Je trouve ça un peu détourné même si au final c'est presque juste chez moi ^^

Oui tu as raison, c'est effectivement surprenant la première fois qu'on fait ça.
Mais le truc du module est une astuce classique (à partir du moment où on connait...) pour le calcul que tu demandes.

[john david]

D'accord de plus ils ont même signe.

Mais pourtant avec x = rac (3/2) et y = rac (1/2) je ne retrouve pas 1+i

(x+iy)² = x² - y² + 2ixy = 3/2 - 1/2 + i rac 3
(x+iy)² = 1 + i rac 3

Et j'ai du mal à retrouver mon erreur, quand je vérifie le systeme

x²-y² = 1
x²+y² = 2

c'est bon avec mes valeurs par contre avec ces valeurs

2xy = 6/4

Je patauge un peu ^^

[kasoo]

Hmm, je viens de relire la discution et il me semble qu'il y ait une erreur :

On a conseillé, très justement, à john david d'utiliser les modules des deux nombres complexes.

Il me semble que mod(x+iy)²=x²+y² et non

Donc l'équation donnée par les modules devient


ce qui expliquerait la difficulté à conclure
Me trompe-je ?

[magnolia86]

Il me semble que mod(x+iy)²=x²+y² et non

Donc l'équation donnée par les module devient


ce qui expliquerait la difficulté à conclure
Me trompe-je ?

Oui, exact !! Merci, je n'avais pas fait attention :happy2:

[john david]

En effet mais même avec ça je n'arrive pas à retomber sur mes pattes à la fin...

J'ai x²= ( rac 2 + 1 ) / 2
y² = (rac 2 - 1) / 2

mais au final toujours pas de (x+iy)² = 1+i ...

[magnolia86]

Ok, tu as et
Ne pas oublier que 2xy=1, autrement dit x et y ont le même signe.
Maintenant, tu peux conclure :we:

[xyz1975]

Bonsoir,
(x+iy)²=1+i est équivalente au système suivant :
x²-y²=1.................................................(1)
2xy=1...................................................(2)
x²+y²=.....................(3)
Additionez les équations (1) et (3)
Vous trouvez deux valeurs de x, il suffit alors de remplacer dans l'équation (2).
Cette question prépare la résolution d'une équation dans C de degré 2 dont le discriminant est 1+i et x+iy que vous avez trouvés sont les racines carrées du discriminant.

[john david]

Oui ils ont même signe mais lorsque je calcule (x+iy)² je ne retrouve pas 1+i

Pour moi j'ai

x = + ou - rac( rac2 + 1 ) / rac 2
y = + ou - rac ( rac2 - 1 ) / rac 2

x²-y² = 1 c'est bon

Mais 2xy ne fait pas 1 avec ces valeurs...

[xyz1975]

Oui ils ont même signe mais lorsque je calcule (x+iy)² je ne retrouve pas 1+i

Pour moi j'ai

x = rac ( rac2 + 1 ) / rac 2
y = rac ( rac2 - 1 ) / rac 2

x²-y² = 1 c'est bon

Mais 2xy ne fait pas 1 avec ces valeurs...

Les valeurs que vous avez trouvées : rac ( rac2 + 1 ) / rac 2 et rac ( rac2 - 1 ) / rac 2 sont pour la variable x .

[john david]

Interessant, il faut donc bien utiliser les 3 équations pour les deux variables.

Pourtant on dit toujours qu'il faut autant d'équations que de variables cela est du aux complexes ?

[xyz1975]

Interessant, il faut donc bien utiliser les 3 équations pour les deux variables.

Pourtant on dit toujours qu'il faut autant d'équations que de variables cela est du aux complexes ?

Les deux équations (1) et (2) sont suffisantes pour trouver x et y mais pour simplifier les calculs on rajoute la (3) qui découle de la composition des modules.

[kasoo]

Bien sur avec 2 équations du type
ax+by=c
dx+ey=f

les solutions peuvent facilement être trouvées

Mais avec 2 équations comme celle de l'exo :
ax+by=c
dxy=e

on ne peut pas conclure de la même façon, il ya beaucoup plus de solutions, ici il y a une équation supplémentaire qui limite les solutions.

Qu'on me corrige si je me trompe (ce qui est possible ^^)

[nuage]

Interessant, il faut donc bien utiliser les 3 équations pour les deux variables.

Pourtant on dit toujours qu'il faut autant d'équations que de variables cela est du aux complexes ?

Ce n'est pas utile
de
on déduit
Il est alors facile de trouver et comme racines d'une équation du second degré.