[1ereS] dm équation de cercle

[Romanouch]

Est-ce qu'un vecteur normal peux couper une droite ?
par exemple si je dis que le vecteur BC de coordonnées (3;1) est un vecteur normal de la droite (m) passant par le point N, milieu de [BC], c'est possible ?

Un vecteur n'a pas vraiment de lieu particulier sur le plan. Un vecteur, c'est une direction et une norme (une "longueur") donc on peut le mettre n'importe où, il n'a pas d'origine.

Par contre, ton intuition, ton idée, est très bonne.

[coralyne]

Exact!

Maintenant, je découpe les étapes en question pour te guider plus. C'est une méthode pour trouver l'équation de (m), mais il y en a d'autres. Celle-là te permettra d'utiliser le produit scalaire et donc de mieux le maîtriser.

1. Quelles sont les coordonnées du vecteur ?
2. Nous allons noter l'équation de la droite (m) comme ceci: y=ax + b. Dans ce cas, quelles sont les coordonnées du vecteur directeur de (m)? On l'appelera
3. Que peut-on dire de et de ?
4. EN déduire le coefficient directeur de (m)
5. Le point N appartient à la droite (m). En déduire l'ordonnée à l'origine de la droite (m)
6. A ce stade, tu auras obtenu l'équation de (m)

Si tu y arrives et que tu retrouves la même équation que moi et que tu as compris, fais la même chose avec la droite (m'). Donne tes résultats au fur et à mesure si tu veux que je les valide ou si tu as des questions.

merci, oui, j'ai aussi trouver y=-3x-8.... mais dans la question 5 j'ai un stade de mon équation bizzare, j'ai:
1.BC(3;1)
2.u(-b;a)
3 ils sont perpendiculaires
4. 3*-b+1*a=0
-3b+a=0
a=-3b donc y=-3bx+b
5. N(1.5;3.5) verifie l'équation:
y=-3bx+b
3.5=-3b*1.5+b
3.5=-4.5b+b
3.5+4.5=b
-8=b donc y=-3x-8

[coralyne]

ensuite, pour l'équation de (m'), passant par D(1;1.5), le milieu de [BA] j'ai trouver:
1. BA(0;-1)
2.le vecteur directeur de (m'), v(-b;a)
3.perpendiculaire
4. 0*-b-1*a=0
-a=0
a=0 donc y=0x+b
5. D(1;1.5) verifie l'équation:
y=0x+b
1.5=0*1+b
1.5=0+b
1.5=b donc y=0x+1.5
c'est ça !?

[coralyne]

[quote="Romanouch"]Un vecteur n'a pas vraiment de lieu particulier sur le plan. Un vecteur, c'est une direction et une norme (une "longueur") donc on peut le mettre n'importe où, il n'a pas d'origine.

Par contre, ton intuition, ton idée, est très bonne.

[Ben314]

1.BC(3;1)
2.u(-b;a)
3 ils sont perpendiculaires
4. 3*-b+1*a=0
-3b+a=0
a=-3b donc y=-3bx+b

Non, la fin du 4. ne va pas.
Lorsqu'au 2. tu écrit juste "u(-b,a)", en fait, si tu écrivait tout comme dans ton post où tu rappelle les truc que tu sait, tu aurais écrit
"si une équation de la droite est ax+by+c=0 alors un vecteur directeur de cette même droite est u:(-b,a)"
donc à la fin du 4., ce que tu doit en déduire, c'est que :
"donc une équation de la droite est -3bx+by+c=0"
Et, arrivé à ce point (ou avant), il faut aussi constater que, un même droite a des tas de vecteurs directeurs (si (1,-1) est un vecteur directeur, alors (2,-2) ; (-1,1) ; (-3,3), etc sont aussi des vecteurs directeurs) donc lorsque tu as l'équation a=-3b (qui caractérise les vecteurs orthogonaux au vecteur BC), tu peut prendre n'importe quel b non nul (le vecteur nul ne dirige rien du tout), par exemple b=1 (et donc a=-3) ou bien b=-1 (et a=3) ou bien b=2 (et a=-6)...
Et tu termine comme tu l'a fait pour trouver la valeur de c dans l'équation.

Sinon, vu ce que tu as dit concernant ce que vous avez déjà vu, je pense que tu pouvais aller un peu plus vite en disant que, comme la médiatrice de [BC] est orthogonale à (BC), ça veut directement dire que le vecteur BC:(3,1) est un vecteur normal de la médiatrice donc qu'une équation de la médiatrice est de la forme 3x+y+c=0 (et tu détermine C comme tu l'a fait)

[Romanouch]

2.u(-b;a)

Attention, il y a une subtilité. Si tu ramènes y=ax+b sous sa forme cartésienne, tu auras -ax+y-b=0, et donc le vecteur directeur que tu trouves n'est pas le bon. Il faut t'adapter, pas seulement donner la formule du cours si les données sont légèrement différentes.

3 ils sont perpendiculaires

Oui

4. 3*-b+1*a=0
-3b+a=0
a=-3b donc y=-3bx+b
5. N(1.5;3.5) verifie l'équation:
y=-3bx+b
3.5=-3b*1.5+b
3.5=-4.5b+b
3.5+4.5=b
-8=b donc y=-3x-8

Comme tu n'as pas les bonnes coordonnées de ton vecteur directeur, ça marche pas.

[Romanouch]

ensuite, pour l'équation de (m'), passant par D(1;1.5), le milieu de [BA] j'ai trouver:
1. BA(0;-1)
2.le vecteur directeur de (m'), v(-b;a)
3.perpendiculaire
4. 0*-b-1*a=0
-a=0
a=0 donc y=0x+b
5. D(1;1.5) verifie l'équation:
y=0x+b
1.5=0*1+b
1.5=0+b
1.5=b donc y=0x+1.5
c'est ça !?

même remarque que pour (m)

[Ben314]

Sinon, concernant l'autre méthode (qui n'est a mon avis pas celle attendu), elle repose uniquement sur le fait que tu as du déjà voir) que si M:(x,y) et M':(x',y') alors la distance de M à M' est
Donc distance(M,B)=distance(M,C) si et seulement si

[coralyne]

ouh la!, je m'embrouille :$
je comprend vos raisonnements, sauf la formule de Ben314 j'ai pas vu cette formule \sqrt{(x-x_B)^2+(y-yB)^2}=\sqrt{(x-x_C)^2+(y-yC)^2}
au final, mon équation de droite elle est de quelle type y=ax+b ou ax+by+c=0 ?

[coralyne]

Non, la fin du 4. ne va pas.
Lorsqu'au 2. tu écrit juste "u(-b,a)", en fait, si tu écrivait tout comme dans ton post où tu rappelle les truc que tu sait, tu aurais écrit
"si une équation de la droite est ax+by+c=0 alors un vecteur directeur de cette même droite est u:(-b,a)"
donc à la fin du 4., ce que tu doit en déduire, c'est que :
"donc une équation de la droite est -3bx+by+c=0"
Et, arrivé à ce point (ou avant), il faut aussi constater que, un même droite a des tas de vecteurs directeurs (si (1,-1) est un vecteur directeur, alors (2,-2) ; (-1,1) ; (-3,3), etc sont aussi des vecteurs directeurs) donc lorsque tu as l'équation a=-3b (qui caractérise les vecteurs orthogonaux au vecteur BC), tu peut prendre n'importe quel b non nul (le vecteur nul ne dirige rien du tout), par exemple b=1 (et donc a=-3) ou bien b=-1 (et a=3) ou bien b=2 (et a=-6)...
Et tu termine comme tu l'a fait pour trouver la valeur de c dans l'équation.

Sinon, vu ce que tu as dit concernant ce que vous avez déjà vu, je pense que tu pouvais aller un peu plus vite en disant que, comme la médiatrice de [BC] est orthogonale à (BC), ça veut directement dire que le vecteur BC:(3,1) est un vecteur normal de la médiatrice donc qu'une équation de la médiatrice est de la forme 3x+y+c=0 (et tu détermine C comme tu l'a fait)

si l'équation de ma droite est du type ax+by+c=0 j'ai donc 3x+y-8=0 ... mais je comprend pourquoi vous passer de -3x+by+c=0 à 3x+y+c=0, pourquoi le 3 n'est plus négatif est pourquoi il n'y a plus de b ?

[coralyne]

Est-ce que je peux diviser par x et par y? par exemple mon équation de droite est de la forme ax+by+c=0, j'ai calculé a et j'ai trouvé a=-3b...
pour trouver b, j'ai fait:
soit (m), la médiatrice passant par N(1.5;3.5) et dirigée par le vecteur directeur u(-b;a). on considère un point M(x;y) appartenant à la droite (m). ainsi M(x;y) appartient à (m) si et seulement si les vecteurs NM((x-1.5)(y-3.5)) et u(-b;a) sont colinéaires:
d'où a(x-1.5)+b(y-3.5)=0
ax-1.5a+by-3.5b=0
sachant que a=-3b, on a:
-3b*x-1.5*-3+by-3.5b=0
-3bx+4.5b+by-3.5b=0
-3bx+b+by=0

ici, je peut diviser -3bx par x et by par y ou pas ?
si oui, j'aurais:
-3b+b+b=0
-b=0
donc b=0
c'est ça !?

[coralyne]

non sa peut pas puisqu'après j'obtient a=-3*0=0 et mon équation vaut 0x+0y+c=0 ... c'est même pu une équation!
je ne vois pas comment faire

[coralyne]

j'ai essayé, en calculant a et b sous la forme y=ax+b. J'ai trouver a=-3b, b=-1 soit a=-4 et donc y=-4x-1.
en ramenant l'équation sous la forme cartésienne ax+by+c=0, j'ai 4x-y-c=0
c'est ça ?

[Ben314]

Bon, déjà, le truc à bien comprendre, c'est que ça
"mon équation de droite elle est de quelle type y=ax+b ou ax+by+c=0 ?"
ben c'est pas une question : la réponse est (évidement) c'est comme tu veut : la même droite a, à la fois pour équation y=-3x+8 mais aussi 3x+y-8=0 voir même 6x+2y-16=0 ou bien x=(8-y)/3 ou encore 9x+3y=24 etc... etc...
Tout cela pour une simple raison, c'est que toute ces équation disent exactement la même chose (on dit qu'elles sont équivalentes)

Dans le contexte de cet exercice, vu que tu va utiliser des vecteurs directeurs/normaux de droites, tu as intérêt à commencer à chercher tes équations sous la forme ax+by+c=0 quitte à ensuite les écrire sous la forme y=mx+p.

Bon, sinon, ton "diviser par 3bx", c'est du grand n'importe quoi : dans une équation, quand on "divise", ben on divise tout des deux cotés et par la même chose : Si tu as deux gâteaux égaux, que tu divise le premier en 3 et le deuxième en 5, ça fait pas les même part. Pour que ça fasse la même chose, il faut évidement diviser les deux gâteaux pas la même chose !!!! (en plus, avant de diviser par 3bx, il faudrait que tu sache si 3bx est nul ou pas or tu n'en sait rien).
L'équation que tu as écrite, si tu devait la diviser par quelque chose, ben ça serait par b vu qu'il apparait absolument partout (et à condition d'expliquer pourquoi il es non nul).

De toute façon, tu t'emmerde pour rien.
Je te l'ai déjà dit : une droite, elle a des tas de vecteurs directeurs et des tas de vecteurs normaux et pour avoir le début de son équation (le a et le b) il te suffit de connaitre UN vecteur directeur (ou normal).

Donc je reprend (de nouveau pour la 2em fois) le vecteur BC a pour coordonnées (3,1) et c'est un vecteur normal de la médiatrice du segment [BC] (il est orthogonal à tout vecteur directeur de la droite (BC)) DONC UNE DES (multiples) équation de la droite (BC) est de la forme 3x+y+c=0 (j'ai pris a=3 et b=1 vu que (3,1) est un vecteur normal de la droite).
Et tu termine comme tu l'a déjà écrit plusieurs fois en écrivant :
De plus, le milieu de [BC] qui a pour coordonnés (3/2,7/2) est sur la médiatrice de [BC] donc on doit avoir
3*(3/2)+(7/2)+c=0 ce qui donne c=-8.
Conclusion : UNE (des multiples) équation de la médiatrice de [BC] est 3x+y-8=0.
et, UNE AUTRE (des multiples) équation de la médiatrice de [BC] est y=-3x+8.

Tout ça donne assez fortement l'impression que ce que tu n'a pas compris, c'est qu'un même équation peut se réécrire de tas de façon différente tout en disant toujours la même chose :
Dire que x=y, c'est la même chose que y=x, que x-y=0, que y-x=0, que 3x=3y, que 17x-17y=0, voir même x+y=2x ou bien 2x+y+7=x+2y+7...

[Ben314]

Pour pas y passer non plus des lustres, vu que ça fait 10 fois qu'on fait la médiatrice de [BC], pour celle de [AC], c'est pareil :
Elle a pour vecteur normal le vecteur AC:(?,?) donc UNE de ces équation est de la forme ...
De plus elle passe par le milieu du segment [AC] qui a pour coordonnés (?,?) donc on doit avoir ...

[coralyne]

Oui c'est vrai, je me suis emmerder pour rien ... j'ai eu un gros beugue sur les équations:
o final j'ai fait (normalement c'est bon x))
I. (m) est une droite de vecteur normal BC(3;1), passe par N(1.5;3.5). un point M(x;y) du plan appartient à la droite (m) ssi les vecteurs NM et BC sont orthogonaux, c'est-à-dire NM(scalaire)BC=0
donc NM(scalaire)BC=a(x-xN)+b(y-yN)
=3(x-1.5)+1(y-3.5)=0
= 3x-4.5+y-3.5=0
= 3x+y-8=0
(m') une droite, vecteur normal BA(2;-3), passe par D(1;1.5). un point M[...]c'est-à-dire DM(scalaire)BA=2(x-1)-3(y-1.5)=0
=2x-2-3y+4.5=0
=2x-3y+2.5=0

II. système d'équations pour trouver les coordonnées de I le centre du cercle
{3x+y-8=0 *3
{2x-3y+2.5

{9x+3y-24=0
{2x-3y+2.5=0
11x-21.5=0

11x=21.5
x=1.95

on remplace x dans une équation de départ:
3*1.95+y-8=0
5.85+y-8=0
-2.15+y=0
y=2.15
donc I a pour coordonnées I(1.95;2.15)

III. calcul du rayon du cercle
j'ai pris le segment IA, je calcule sa longueur:
IA=(racine carré)(xA-xI)²+(yA-yI)²
IA=(racine carré)(0-1.95)²+(2-2.15)²
IA=(racine carré)3.80-0.02
IA=(racine carré)3.78
IA²=3.78

IV. équation de cercle
(x-xI)²+(y-yI)²=R²
(x-1.95)²+(y-2.15)²=3.78
x²-3.9x+3.8+y²-4.3y+4.6=3.78
x²+y²-3.9x-4.3y+8.4-3.78=0
x²+y²-3.9x-4.3y+4.62=0 => équation du cercle circonscrit au triangle ABC

[Romanouch]

C'est juste, mais voici deux remarques pour améliorer quand même un peu:

1. Quand tu fais des calculs, maintenant que tu es en 1eS (et puisque tu as l'air de comprendre ce que tu fais), évite le plus possible les nombres décimaux et privilégie les fractions.

Concrètement, les coordonnées du point D seront (1;3/2). Si tu prends ce réflexe, tu verras que tu obtiens toujours des résultats exacts, et jamais d'approximation.

2. Pour l'équation du cercle

IV. équation de cercle
(x-xI)²+(y-yI)²=R²
(x-1.95)²+(y-2.15)²=3.78

Arrête toi ici, l'équation d'un cercle se présente sous cette forme, donc pas besoin ensuite de la développer. Au contraire, en développant on ne reconnaît plus vraiment la forme de l'équation d'un cercle.

En tout cas, t'as fait du bon travail.

[coralyne]

D'accord, je vais modifier tout ça....
en tout cas, merci beaucoup pour votre aide à vous et à Ben314.