Equation avec des ensembles

[Xat]

Bonjour, je ne parviens pas à saisir un point dans un exercice:

Sujet:

Soit E un ensemble et soit A,B∈P(E). Résoudre les équations suivantes, d'inconnue X∈P(E) :
1 : A∪X=B

Mon approche :

Par définition :
A∪X = A + X - A∩X

Donc A∪X=B <=> B=A+X- A∩X
<=>X=B-A + A∩X

Deux cas : A et X disjoints : X=B-A
Le cas contraire : X=B-A - A∩X Le problème est qu'il reste une partie variable dans l'équation, ce qui ne me permets pas de la résoudre proprement. De ce fait, je ne parviens pas à comprendre la correction ci-dessous:

La correction proposée:

Traitons d'abord la première équation.
Puisque A⊂A∪X, une telle équation ne peut avoir une solution que si A⊂B. Supposons donc cette condition remplie, et déterminons toutes les solutions. Supposons d'abord que X est une solution.
Puisque X⊂A∪X, on a nécessairement X⊂B. De plus, X doit nécessairement contenir tous les éléments de B qui ne sont pas dans A.
Autrement dit, on a B∖A⊂X⊂B. Réciproquement, soit X une partie de P(E) telle que B∖A⊂X⊂B. Alors A∪X⊂B∪B=B. De plus,
B=A∪(B∖A)⊂A∪X,
et donc A∪X=B.

Donc toutes les solutions sont les parties X telles que B∖A⊂X⊂B.

[Xat]

Merci à ceux qui prendront le temps de me répondre.

[beagle]

les deux écritures disent la même chose, mais la tienne a un gout d'inachevé

déjà si A n'est pas dans B, pas de solution

donc quand A est dans B
pour retrouver tout B en effet il faut déjà prendre tout B qui n'est pas A, ton A-B ou le B\A
et on peut rajouter une partie de A
donc X comprend tout B\A et une partie de A
donc on a bien B\A inclus dans X
et maintenant si tu dis que X est inclus dans B, cela te permet de rajouter une partie de A au B\A
donc si B\A inclus dans X et X inclus dans B, ben cela fonctionne

Toi tu disais idem je prends B-A et je prends une partie de A qui était dans ton A inter X
sauf qu'une solution X = un truc avec encore de l' X, tu avais raison que cela n'allait pas
c'est la manière de dire que tu prends un bout de A qui différe dans les deux écritures celle de la solution et la tienne

[beagle]

pour le dire autrement,
définir X entre deux inclusions d'ensembles , cela revient à la même chose que lorsque tu dis pour des valeurs numériques:
(b-a) ( inf ou égal)à X (inf ou égal) à B

tu dis X il est plus grand que truc mais plus petit que machin, sauf que pour les ensembles c'est non seulement le nombre d'éléments = la cardinalité, mais c'est aussi quels éléments sont dedans.

[Ben314]

Salut,

Par définition :
A∪X = A + X - A∩X

Moi, perso, ce que j'aimerais surtout savoir c'est où tu as bien pu aller pècher une "définition" aussi stupide que ça et, surtout, que tu m'explique ce que c'est, selon toi, que la définition de cette addition/soustraction d'ensemble qui te sert pour définir ce qu'est la réunion.

Bref, tu ferais mieux de commencer par ouvrir un bon vieux dictionnaire de Français pour comprendre ce que signifie les verbes "unir" et "réunir" ainsi que les mots "union" et "réunion" (si ça te fait pas progresser en math., ben au moins ça enrichira un peu ton vocabulaire...)

[Xat]

Merci, je pense saisir le truc, le plus compliqué reste de l'exprimer :p

On cherche X tel que AUX=B:

Cette équation n'admet une solution si est seulement si: A ⊂ B et X ⊂ B.

Si AUX=B
Alors, l'union de A et de X constitue l'intégralité de l'élément B, on en déduit que X est a minima égal au complémentaire de A dans B. Et comme X ⊂ B, on en déduit que les solutions de cette équation sont tous les X tels que: B-A ⊂ X ⊂ B

Ça passe comme rédaction?

[Lostounet]

Merci, je pense saisir le truc, le plus compliqué reste de l'exprimer :p

On cherche X tel que AUX=B:

Cette équation n'admet une solution si est seulement si: A ⊂ B et X ⊂ B.

Pas tout à fait...

Si E={1;2;3;4;5;6}
A={1;2}
B={1;2;4;6}
Et si X={4}

On a bien A inclus dans B et X inclus dans B
Mais A U X= {1;2;4} est différent de B.

Je te propose de faire un dessin !
Avec A inclus dans B. Comment choisir X pour que A réuni avec X fasse B?

(Donc c'est pas un ssi...)

[beagle]

Salut,

Par définition :
A∪X = A + X - A∩X

Moi, perso, ce que j'aimerais surtout savoir c'est où tu as bien pu aller pècher une "définition" aussi stupide que ça et, surtout, que tu m'explique ce que c'est, selon toi, que la définition de cette addition/soustraction d'ensemble qui te sert pour définir ce qu'est la réunion.

Bref, tu ferais mieux de commencer par ouvrir un bon vieux dictionnaire de Français pour comprendre ce que signifie les verbes "unir" et "réunir" ainsi que les mots "union" et "réunion" (si ça te fait pas progresser en math., ben au moins ça enrichira un peu ton vocabulaire...)

cela ne vient pas du français, puisque si on prend une personne qui ne connait pas les definitions maths, au hasard : moi,
j'arrive à comprendre ce qui est dit
mais comme je suis aussi nul en français, zut ça veut rien dire

donc cela vient bien des maths qui n'accepte pas l'écriture {1,,2,2,4,6} comme étant un ensemble puisque c'est l'ensemble {1,2,4,6 } donc le A+X n'est pas un ensemble avec des doublons et oauquel on doit enlever les doublons. C'est plutot maths dansl'interdiction d'écrire ce truc

l'idée était de dire
A={1,2} X= {2,4,6}, B={1,2,4,6}
alors A+X = {1,2,2,4,6}
et B = {1,2,2,4,6} - {2}

[Ben314]

Pour moi, c'est parfaitement on ne peut plus du Français.
Quand on dit qu'on va réunir les députés et les sénateurs, ben ça veut dire... ce que ça veut dire.
Et si on "accepte pas les doublons", c'est aussi totalement et complètement lié au "sens commun" du mot "réunir" : s'il était possible d'être à la fois sénateur et député, ben un type qui serait les deux en même temps, il n’empêche que lors de la réunion des deux chambres, il ne serait bien évidement présent qu'une seule fois dans la pièce où on les a réuni : un type donné, il est ou il n'est pas dans la pièce, mais il n'y est sûrement pas deux fois.

Et à contrario, j'ai jamais entendu personne dire qu'on allait faire "la somme" des députés et des sénateurs (ce qu'on peut éventuellement sommer, c'est le nombre de sénateur et le nombre de députés)

[beagle]

Pour moi, c'est parfaitement on ne peut plus du Français.
Quand on dit qu'on va réunir les députés et les sénateurs, ben ça veut dire... ce que ça veut dire.
Et si on "accepte pas les doublons", c'est aussi totalement et complètement lié au "sens commun" du mot "réunir" : s'il était possible d'être à la fois sénateur et député, ben un type qui serait les deux en même temps, il n’empêche que lors de la réunion des deux chambres, il ne serait bien évidement présent qu'une seule fois dans la pièce où on les a réuni.

Et à contrario, j'ai jamais entendu personne dire qu'on allait faire "la somme" des députés et des sénateurs (ce qu'on peut (éventuellement) sommer, c'est leur nombre)

Je pense (euh, je suis meme certain) que tu as les idées claires sur la définition d'un élément d'un ensemble.
Mais c'est un mélange du français dans les maths que tu connais bien.
Il pourrait y avoir d'autres logiques de réunion comme l'écriture que j'ai mise, même si elle est affreuse pour un mathématiciens pour des ensembles, ...

[Ben314]

C'est pas affreux : on peut parfaitement définir des truc de ce style (c'est même souvent le cas en proba).
Sauf que, justement, ça ne colle pas du tout avec la notion usuelle ni "d'ensemble", ni de "réunion", qu'on utilise en Français donc ça serait archi. pas futé du tout de nommer un tel objet un "ensemble" ni de nommer une telle opération une "réunion".

Il y a effectivement des cas où un même mot n'a pas franchement le même sens en mathématique qu'en Français, par exemple le "OU" de la logique, mais c'est quasi systématiquement soit qu'il n'y a pas de mot dédié en Français soit, comme dans le cas du "OU" qu'en Français, le sens du mot dépend du contexte : le OU de "fromage OU dessert" au resto. n'a du tout le même sens que celui de "réduction pour les détenteur d'une carte d'étudiant OU d'une carte de fidélité" (le OU des math correspond systématiquement au 2em cas)

[beagle]

"C'est pas affreux : on peut parfaitement définir des truc de ce style (c'est même souvent le cas en proba)."

ça doit ètre pour cela que cela ne m'avait pas choqué

comme aussi dans la formule de Grassmann
dim (F+G) = dim(F) + dim (G) - dim (F inter G)
que j'avais vue dans la célèbre vidéo de la sous-colle de prepa

[Xat]

J'ai simplement été induit en erreur par les probabilités. On va peut-être s'en remettre.
Merci au Docteur ès pédagogie d'être passé par là, tu peux continuer ton chemin.
(J'ose juste espérer que tu n'es pas enseignant parce que répondre de la sorte est bien contre-productif...)

Merci pour les autres réponses!

[beagle]

Salut Xat,
il est important que tu ais compris.
Il est important que l'on se comprenne.
Et pour cela on a besoin d'un langage commun.

Donc il ne suffit pas que tu ai compris.
Il est très important que cela ressorte dans l'écriture de ta démontration,
et donc l'intervention de Ben314 était utile, sinon c'est aux examens que tu te feras déchirer.

Sur la forme Ben314 est assez direct , tu vas t'en remettre comme tu dis toi-même...

[rcompany]

Rappel: et sont donc des ensembles de sous-ensembles de E disjoints, non-nuls (au sens de différents de l'ensemble vide) et dont l'union forme E.

Si A=B, on a une solution évidente, A.

Si A B. l'union de deux partitions de E peut-elle être une partition de E?

[Ben314]

Rappel: et sont donc des ensembles de sous-ensembles de E disjoints, non-nuls (au sens de différents de l'ensemble vide) et dont l'union forme E.

Absolument pas.
Si A, B et X sont des éléments de l'ensemble P(E), ça signifie (par définition) que ce sont des parties de E, c'est à dire que ce sont des ensembles d'éléments de E et pas des ensembles d'ensembles.
De plus absolument rien n'interdit à A,B et X d'être égaux à l'ensemble vide et absolument rien ne dit non plus que la réunion des 3 doit être égale à E.

[aviateur]

Bonjour
Quand on commence par écrire des inepties du genre sans avoir au préalable défini la somme et la différence des ensembles en questions et dont on ne sait même pas dans quel sur-ensemble se pose le problème,
alors je ne suis pas étonné du même genre d'ineptie et d'arrogance que tu emploies envers une personne qui en connait surement plus que toi et qui essaye de te mettre les yeux en face des trous.
En tout cas je pense qu'il y a beaucoup de "Docteur es-pédagogie" normalement constitués à qui tu vas surement dire de passer leur chemin (selon la formule que tu emploies) . Mais à travers les examens ou concours que tu vas surement tenter, ce sont ces mêmes "Docteur es-pédagogie" qui vont t'envoyer bouler.

[beagle]

Salut a tous,

Donc on a :
B = A + X - A inter X
qui est une ineptie

Et cette égalité là, est-elle ineptique?
X = B - A + A inter X

[aviateur]

Bonjour
Dis lui de faire un arbre comme a t-on habitude, que la solution soit bonne ou fausse,le gars il n'aura rien compris mais il sera satisfait, il te remerciera d'y avoir pensé et toi aussi. Tu seras content d'avoir un nouvel adepte de ce j'appelle le "n'importe quoi".

Alors @beagle, je vais être clair, on est ici pour faire des math ou quoi?

[beagle]

Bonjour
Dis lui de faire un arbre comme a t-on habitude, que la solution soit bonne ou fausse,le gars il n'aura rien compris mais il sera satisfait, il te remerciera d'y avoir pensé et toi aussi. Tu seras content d'avoir un nouvel adepte de ce j'appelle le "n'importe quoi".

Bonjour, un modérateur du site peut-il conserver cette agression pour le jour où je vais m'énerver?

Sinon quelq'un peut ramener aviateur dans sa chambre, il n' a pas pris ses gouttes ce matin.