Équation arithmétique

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
LjjMaths
Membre Relatif
Messages: 122
Enregistré le: 26 Déc 2016, 02:46

Équation arithmétique

par LjjMaths » 27 Jan 2017, 23:57

Bonsoir à tous,
Comment pourrais je résoudre l équation suivante dans N svp ?
(n+3)^n=Sigma de k=3 à n+2 (k^n)
Merci d avance ! ;-)



Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21483
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Équation arithmétique

par Ben314 » 28 Jan 2017, 01:09

Salut,
Perso., je vois rien de très "arithmétique", mais assez rapidement est trop grand pour être égal à :
La fonction étant convexe, pour tout on a donc puis on vérifie relativement facilement que dés que
(en écrivant que )
Enfin, en testant "à la main", on vérifie que pour n=2 et pour n=3.
Modifié en dernier par Ben314 le 28 Jan 2017, 22:53, modifié 1 fois.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

LjjMaths
Membre Relatif
Messages: 122
Enregistré le: 26 Déc 2016, 02:46

Re: Équation arithmétique

par LjjMaths » 28 Jan 2017, 01:37

D'accord, merci bcp Ben !
Quand a l'arithmétique c'est parce que cette équation provient d une fiche d exercices d'arithmétique (en FAit c'est un exo de concours g je crois) mais n'ayant rien su faire concernant cette équation je n ai pas pu juger si ca relevait de l arithmétique ou pas :-)

LjjMaths
Membre Relatif
Messages: 122
Enregistré le: 26 Déc 2016, 02:46

Re: Équation arithmétique

par LjjMaths » 28 Jan 2017, 01:51

N'empêche ça paraît assez ardu une telle résolution avec dès fonctions convexes tout ça tout ça
Fin en terminale on a pas vu ca du coup y a peut être quelque chose de plus simple nan?

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21483
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Équation arithmétique

par Ben314 » 28 Jan 2017, 02:41

Le coté convexe de t->t^n, c'est très facile à faire comprendre (et démontrer) par un (bon) terminale : ça veut juste dire que la courbe est toujours au dessus de sa tangente donc si c'est pour fabriquer un petit problème avec des questions intermédiaires, tu peut mettre "montrer que la courbe de t->t^n est toujours au dessus de sa tangente et en déduire que l'intégrale de k-1/2 à k+1/2 de t^n dt est <= à k^n.
Le problème, c'est que sans indic, et si on l'a jamais vu, ça s'invente pas trop comme technique de majoration/minoration cette histoire de tangente au dessus/au dessous et que c'est la même chose pour la suite : les comparaisons sommes/intégrales, un (bon) terminale peut parfaitement le faire... si on lui donne comme indication de le faire.
Idem pour (1+x)^n >= 1+nx : si on demande à un terminale de le démontrer, il y arrivera sans soucis, mais s'il n'y a aucune indic. demandant préalablement de montrer une telle inégalité, je vois pas trop comment il peut "inventer" qu'il faut utiliser ça.

Bref, en mettant 3 ou 4 questions intermédiaires, ça devient tout à fait faisable pour un (bon) terminale vu que les seuls outils nécessaires sont vu en terminale. Par contre, qu'un term puisse trouver l'enchainement tout seul, ça j'y crois pas trop.

Et sinon, à froid, je vois pas trop d'autre méthode, mais c'est peut-être lié au fait qu'une fois dans le supérieur, ce type d'enchainement est archi. classique.
Modifié en dernier par Ben314 le 28 Jan 2017, 14:46, modifié 1 fois.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

LjjMaths
Membre Relatif
Messages: 122
Enregistré le: 26 Déc 2016, 02:46

Re: Équation arithmétique

par LjjMaths » 28 Jan 2017, 10:03

D'accord merci bcp pour cette expliquation ! :-)

Tiruxa47
Membre Relatif
Messages: 343
Enregistré le: 14 Jan 2017, 18:03

Re: Équation arithmétique

par Tiruxa47 » 28 Jan 2017, 13:10

Bonjour,

Je suppose que c'est
et idem en suivant...
ou alors je n'ai rien compris

Pseuda
Habitué(e)
Messages: 3222
Enregistré le: 08 Avr 2015, 14:44

Re: Équation arithmétique

par Pseuda » 28 Jan 2017, 14:46

Ben314 a écrit:Salut,
Perso., je vois rien de très "arithmétique", mais assez rapidement est trop grand pour être égal à

Bonjour,

Il me semble que ceci se vérifie par récurrence sur n, pour ?

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21483
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Équation arithmétique

par Ben314 » 28 Jan 2017, 14:56

Tiruxa47 a écrit:Bonjour,
Je suppose que c'est
et idem en suivant...
Oui, effectivement, dans le deuxième post je me suis gourré dans le sens de l'inégalité.
Je rectifie.
EDIT : J'avais pas vu que j'avais aussi mis des puissances k à la place des puissances n dans le premier post...
Je (re)rectifie... (sauf qu'en ce moment, ça compile plus le MimeTeX....)

Pseuda a écrit:...assez rapidement est trop grand pour être égal à ...
Il me semble que ceci se vérifie par récurrence sur n, pour ?
A froid, j'y crois "moyen" vu que le n apparait non seulement sur "la taille" de la somme mais aussi sur les termes sommés. De plus, (n+3)^n n'est pas "beaucoup" plus grand que la somme donc il ne faut pas utiliser de majoration trop "grossières" : Par exemple si on utilise uniquement la croissance de t->t^n pour majorer k^n par l'intégrale de k à k+1 de t^n dt, c'est trop "grossier" pour conclure que la somme est <(n+3)^n.

Mais il y a peut-être une astuce qui m'échappe...
Tu as une idée ?
Modifié en dernier par Ben314 le 28 Jan 2017, 22:53, modifié 2 fois.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Pseuda
Habitué(e)
Messages: 3222
Enregistré le: 08 Avr 2015, 14:44

Re: Équation arithmétique

par Pseuda » 28 Jan 2017, 20:49

Bonsoir,

Par récurrence, en majorant k par n+2 dans la somme, on aboutit à devoir montrer que 2n+5 < ((n+4)^(n+1))/(n+3)^n pour tout n à partir de 4, ce qui est vrai.

Cette dernière inégalité se prouve en développant la formule du binôme sur (1+1/(n+3))^n jusqu'au 3ème terme.

Sauf erreur...

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21483
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Équation arithmétique

par Ben314 » 28 Jan 2017, 22:48

Je capte pas trop : si tu majore tout les k de la somme par (n+2), ça te donne S_n <= n(n+2)^n et c'est déjà foutu (i.e. trop grossier) vu que n(n+2)^n n'est pas inférieur (asymptotiquement) à (n+3)^n (car [(n+3)/(n+2)]^n tend vers une constante donc ne peut être >=n)

Tu ne majore que certains k par (n+2) ?
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Pseuda
Habitué(e)
Messages: 3222
Enregistré le: 08 Avr 2015, 14:44

Re: Équation arithmétique

par Pseuda » 29 Jan 2017, 01:29

C'est une récurrence. Je vais essayer sans Latex qui n'a pas l'air de fonctionner ce we.

On suppose que Sn < (n+3)^n, et on montre que Sn+1 < (n+4)^(n+1) :

Dans Sn+1, on majore k^1 par n+2. On obtient Sn+1 < (n+2) * Sn + (n+3)^(n+1) < (n+3)^n * (2n+5). Puis on montre que ceci est < (n+4)^(n+1).

Ceci se fait en développant ((n+4)/(n+3))^n = (1+1/(n+3))^n par la formule du binôme jusqu'au 3ème terme. Bref je ne vois pas où est l'erreur.

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21483
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Équation arithmétique

par Ben314 » 29 Jan 2017, 01:57

Non, c'est bon, c'est moi qui avait pas compris.
Mais d'un autre coté, reconnait quand même que, partant de ça comme "indication" :
Pseuda a écrit:...en majorant k par n+2 dans la somme...
Il faut quand même un peu d'imagination pour en déduire que ce que tu as écrit, c'est que, pour k<=n+2, on a k^(n+1)<=(n+2)*k^n
non ?
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

Pseuda
Habitué(e)
Messages: 3222
Enregistré le: 08 Avr 2015, 14:44

Re: Équation arithmétique

par Pseuda » 29 Jan 2017, 08:55

Bonjour,

Ouf. C'est pour cette raison que j'ai écrit "on majore k^1" dans la 2ème explication.

Mais je n'ai fait que respecter le règlement du forum qui dit qu'il ne faut pas trop donner d'indications. :-D

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21483
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: Équation arithmétique

par Ben314 » 29 Jan 2017, 14:52

Sinon, s'il y a des Lycéens que ça intéresse, cette histoire de "convexité" et ce qui en découle, c'est pas bien compliqué à établir :
Si on part de la fonction réelle , on sait que la tangente en (où ) a pour équation
Donc "l'écart" entre la courbe et la tangente est .
On a alors qui est négatif pour et positif pour , vu que est croissante sur . La fonction est donc décroissante sur puis croissante ce qui signifie que la plus petite valeur qu'elle prend sur est .
Donc c'est à dire pour tout (la courbe est "au dessus" de sa tangente).
On en déduit que or la deuxième intégrale correspond à la surface d'un trapèze dont la base à une largeur de 1 et dont la hauteur médiane (qui est égale à la moyenne entre les hauteur "de droite" et "de gauche") est de donc cette intégrale vaut .
Modifié en dernier par Ben314 le 29 Jan 2017, 15:57, modifié 1 fois.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

LjjMaths
Membre Relatif
Messages: 122
Enregistré le: 26 Déc 2016, 02:46

Re: Équation arithmétique

par LjjMaths » 29 Jan 2017, 15:23

Merci pour toutes ces réponses !
Perso j'ai réfléchi dans mon coin et j'ai fais comme Pseuda avec une récurrence
Mais je trouve pas mal la résolution avec les intégrales que je connaissais pas ;-)

 

Retourner vers ✎✎ Lycée

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 210 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite