Exercice 1 :
Enoncé: On cherche à modéliser de deux façons différentes l'évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat, en fonction de l'année.
Un = le nombres en million de foyers ayant un téléviseur à écran plat l'année n . On pose n=0 en 2005, U0= 1 et, pour tout n
0, Un+1= 1/10 Un(20-Un)1) Montrer par récurrence que, pour tout n;)N 0;)Un;) Un+1
10Solution: Pour l'étape d'initiation tout vas bien, mais je bloque pour l'étape d'hérédité:
* On veut montrer que la propriété est vraie au rang suivant. Supposons qu'elle est vraie à un certain rang N, alors:
0
U_N U_N+1 10maintenant il faut que je montre que U_N+1
U_N+2 10 Pour cela, je sais que U_N+2 = 1/10 U_N+1 ( 20- U_N+1 )
Mais aprés je ne sais quoi faire pour arriver à 0
U_N U_N+1 U_N+2 10Pour la question suivante, il faut montrer que U_n converge, est ce que le simple fait qu'elle soit continue et décroissante cela indique qu'elle
converge vers une limite "l" dont je préciserai la valeur par le calcul de la limite, (car auparavant on ma fait étudier le sens de variation de f(x)= 1/10 x(20-x)qui est croissante sur [0;10] et décroissante sur [10;20] )?
2) Enoncé: Soit g(x) le nombre exprimé en millions de tels foyers l'année x. On pose x=0 en 2005 g(0)=1 et g est une solution de l'equa diff:
(E): y'=1/20 y(10-y)
On considère une fonction y qui ne s'annule pas sur [0;+;)[ et on pose z=1/y
Montrer que y est solution de E si et seulement si z est solution de l'équa diff
(E1): z'= -1/2 z + 1/20
Solution:[/U] Si y est solution de (E) alors y'= 1/20 y ( 10-y). Or, z= 1/y
Si z est solution de (E1) alors z'= -1/2 z + 1/20
Or, z'= -1/y² [ c'est comme si on avait 1/x sauf que l'inconnue est une fonction ]
Mais lorque je remplace j'obtiens:
(E1): -1/2 z + 1/20 = - 1/2 * 1/y + 1/20
-1/y² donc z n'est pas la solution...Peut être que ma dérivée est fausse alors j'ai essayé :
z'= 1/y' = 1/(1/20*y(10-y) mais là aussi 1/(1/20*y(10-y)
- 1/2 * 1/y + 1/20 .[U]Enoncé: Résoudre (E1) et en déduire les solutions de (E)
Solution: J'ai trouvé comme solutions de E(1) les fonctions telles que :
z(x) = k exp(-1/2x) + 1/10 pour en déduire les solutions de (E), puisque y=1/Z alors les fonctions solutions sont telles que y(x)= 1/(k exp(-1/2x) + 1/10)
le hic c'est qu'aprés, lorsque je déduis g(x) qui est une des solutions de (E) je trouve g(x)= 1/ (9/10*exp(-1/2x)+1/10) ce qui ne correspond pas à ce qui est dit à la question suivante qui demande de montrer que g(x)= 10/( 9exp(-1/2x)+1 sur [0;+;)[
Pour le calcule de la limite de g(x) j'ai trouvé 10, cela représente donc 10 millions de foyers mais ce que je ne comprends pas c'est comment traduire
le x qui tent vers +
, puis que x est l'année, x qui tent vers + l'infie serait une sorte "d'éternite", je ne sais pas ... Exercice 2:
On a la fonction f(x)= x/ln(x) sur ]1; +;) [ on a calculer les limites de f en 1 et en +;) et étudier le sens de variation : décroissante sur ]1; e[ et croissante sur ]e;+;)[ ensuite on nous donne la suite U0= 5 et Un+1= f(Un). En annexe nous est donné Cf et il est demandé de placé U1 et U2
Il faut démontrer que pour tout entier naturel n, Un
e et démontrer que Un converge vers un réel l Solution:
le tableau des signes nous montre que f(x) est décroissante sur ]1;e[
et croissante sur ]e; +
[ pour montrer que U_n e faut il se servir du graphique où l'on voit que les terme U_1, U_2 etc... convergent vers e;)2.7?
Enoncé: En étudiant de 2 mannières différentes la limite de la suite f(Un) démontrer que f(l)=l en déduire la valeur de l .
Solution: les 2 manières pour étudier la limite de f(U_n) faut il le faire graphiquement ? Puisqu'on a pas d'expréssion explicite
pour U_n le seul moyen serait de le voire graphiquement car on connait les termes U_à U_1 et U_2 et on voit qu'il convergent vers e.
Je vous remercie de l'aide que vous pourrez m'apporter !
