[TS] Entiers a et b vérifiant a^b = b^a

[max]

Bonjour,

J'ai à faire l'exercice suivant :



A la première question j'ai calculé la dérivé de f(x), dressé le tableau de variations (sur l'intervalle défini, f(x) strictement croissante).
J'ai trouvé que la limite quand x tend vers 0 est -oo et que celle quand x tend vers +oo est 0.

Mon problème est que je sèche complétement sur les questions 2 et 3.

Pourriez vous m'aider?

Merci beaucoup

[rene38]

A la première question j'ai calculé la dérivé de f(x), dressé le tableau de variations (sur l'intervalle défini, f(x) strictement croissante).

Pas d'accord : montre ton calcul de dérivée.

[max]

Pas d'accord : montre ton calcul de dérivée.

f(x)=lnx / x

j'ai trouvé f'(x) = (1-lnx)/x²

[max]

Pas d'accord : montre ton calcul de dérivée.

et d'après la courbe de la fonction f(x) = (lnx)/x à la calculette je conjecture bien qu'elle est croissante

[rene38]

f(x)=lnx / x

j'ai trouvé f'(x) = (1-lnx)/x²

Oui mais f '(x) n'est pas positive sur

[max]

Oui mais f '(x) n'est pas positive sur

la fonction f(x) serait donc croissante sur l'intervalle ]0 ; e] et décroissante sur l'inteervalle ]e;+oo[ ?

[rene38]

la fonction f(x) serait donc croissante sur l'intervalle ]0 ; e] et décroissante sur l'inteervalle ]e;+oo[ ?

Exactement !
Quant à la question 2, en prenant les logarithmes de 2 membres de l'équation (1), ...

[max]

Exactement !
Quant à la question 2, en prenant les logarithmes de 2 membres de l'équation (1), ...

merci beaucoup pour la question 1, j'avais pas fait attention

par contre je ne comprends pas pour la question 2

[max]

Je n'arrive pas à passer de l'équation (1) à (lna)/a = (lnb)/b

Je ne sais pas s'il y'a un rapport avec cela, mais je n'ai pas encore fait le cours sur la fonction exponentielle de base a. (j'ai vu dans mon annabac que ça existait)
merci

[Anonyme]

a^b=b^a
equivaut a b*Ln(a)=a*Ln(b)
b*Ln(a)/(a*b)=a*Ln(b)/(a*b)(a*b est different de 0)
Ln(a)/a=Ln(b)/b

[max]

a^b=b^a
equivaut a b*Ln(a)=a*Ln(b)
b*Ln(a)/(a*b)=a*Ln(b)/(a*b)(a*b est different de 0)
Ln(a)/a=Ln(b)/b

salut

merci beaucoup de ta réponse, mais je ne comprends pas comment tu passes de


a^b=b^a
à
b*Ln(a)=a*Ln(b)

[rene38]

Voir cours :

[max]

Voir cours :

Mince, oui, en effet

Il suffisait d'appliquer la fonction "ln" puis d'utiliser les règles de calcul de cette même fonction.

A la question 3 je serais tenté de dire que la solution de l'équation serait 1/e (l'endroit où la courbe de f(x) change de monotonie), mais je pense que c'est faux puisque l'énoné parle de "couples"

Pourriez vous me donner - encore :triste: - une petite piste svp?

[Sphinx]

Si tu as fait la fonction logarithme néperien,tu dois savoir qu'elle est bijective de ]0,+oo[ sur R.
Il faut utiliser la propriété fondamentale de ln,à savoir que ln( )=bln(a).
Alors = équivaut à ln()=ln().
Donc bln(a)=aln(b),et donc ln(a)/a=ln(b)/b.
Dans ce cas tu devras voir si la fonction ln(x)/x peut avoir la même valeur pour 2 x différents,ce qui te renvoie à l'étude de cette fonction faite au a).
Ciao et bonne continuation!

[max]

Si tu as fait la fonction logarithme néperien,tu dois savoir qu'elle est bijective de ]0,+oo[ sur R.
Il faut utiliser la propriété fondamentale de ln,à savoir que ln( )=bln(a).
Alors = équivaut à ln()=ln().
Donc bln(a)=aln(b),et donc ln(a)/a=ln(b)/b.
Dans ce cas tu devras voir si la fonction ln(x)/x peut avoir la même valeur pour 2 x différents,ce qui te renvoie à l'étude de cette fonction faite au a).
Ciao et bonne continuation!

Salut, et merci beaucoup pour ta réponse

lnx/x = 0 pour deux valeurs de x (car la courbe admet deux monotonies différentes sur l'intervalle donné).
D'après moi, on peut trouver ces deux valeurs de x avec le théorème des valeurs intermédiaires.

C'est cela?
Si oui, il n'y a que ces deux valeurs de x possibles ?

Merci beaucoup

[max]

s'il vous plait?

[rene38]

On cherche 2 entiers naturels supérieurs à 1 a et b avec ae et et la solution est évidente :