DM entiers relatifs et naturels

[celiaJ]

Bonjour,

Je sais que je m'y prends un peu tard mais j'ai un DM de maths à faire et il y a trois questions que je n'arrive pas.

Exercice 1
Soient x et y deux entiers relatifs.
On pose A=x+y et B=2x+3y.
1/ Démontrer que tout diviseur commun à x et y divise aussi A et B.

J'ai utilisé la combinaison linéraire pour démontrer ça.

2/ Exprimer x et y en fonction de A et B.
En déduire que tout diviseur de A et B divise aussi x et y.

3/ Démontrer que 2^n+3^n et 2^(n+1)+3^(n+1) sont premiers entre eux.

J'ai dit que s'ils le sont alors ils forment une fraction irréductible. J'avais pensé raisonner par l'absurde en disant qu'il existait un autre diviseur commun à ces deux nombres mais je n'ai pas réussi.

Exercice 2
1/ Écrire 1³, 2³, 3³ comme différence de deux carrés d'entiers.

1²-0²=1³
3²-1²=2³
6²-3²=3³

2/ Le nombre a étant un entier naturel non nul, montrer qu'il existe deux entiers naturels m et n tels que m+n=a² et m-n=a.

Je n'ai pas réussi.

3/En déduire que le cube de tout entier naturel peut s'écrire comme différence de deux carrés d'entiers.

J'ai admis ce qu'on me demandait de démontrer à la question précédente.
a³=a²*a
(m+n)(m-n)=m²-n²

4/ Écrire 7³ comme différence de deux carrés.

J'ai fait :
m+n=49
m-n=7

7+n+n=49 7+2n=49 2n=42
m=7+n

n=21
m=28

On vérifie et on a bien 7³=28²-21².

Merci d'avance de votre aide

[XENSECP]

2/ Exprimer x et y en fonction de A et B.
En déduire que tout diviseur de A et B divise aussi x et y.

Tu l'as pas fait ?

[celiaJ]

à chaque fois, j'arrive à quelque chose en fonction de A, B mais aussi de l'autre inconnue.
vous n'auriez pas une piste pour m'aider ?

[XENSECP]

Système de 2 équations à 2 inconnues... Je veux pas croire que tu ne réussis pas ça ;)

[celiaJ]

A=x+y <=> y=A-x
B=2x+3y <=>B=2x+3(A-x)<=>B=2x+3A-3x<=>B=-x+3A<=>x=3A-B

B=2x+3y <=> 3y=B-2x <=> y=(B-2x)/3=(B-2(3A-B))/3=(B-6A+2B)/3=(3B-6A)/3=B-2A

ça fait : x=3A-B
y=B-2A

C'est ça ?

[XENSECP]

ça a l'air pas mal ;)

[celiaJ]

Exercices résolus :lol3: