Un entier k² qui divise a²+b²

[babahamda]

a, b, et k, 3 entiers tels que : k² divise a²+b²
montrer que k divise a et k divise b

[MJoe]

Bonjour,

Si je prends k = 5 ; a = 3 et b = 4
Alors k^2 = 25 et a^2 + b^2 = 25 d'où k^2 divise bien a^2 + b^2

Mais 5 ne divise pas 3 et 5 ne divise pas 4.

Pourriez-vous nous donner l'énoncé exact.

MJoe.

[babahamda]

d'accord,
si a²+b²=k².(m²+n²) alors k divise a et k divise b

[MJoe]

d'accord,
si a²+b²=k².c' alors k divise a et k divise b

Bonjour,

Y a-t-il une condition sur l'entier c' ?

MJoe.

[MJoe]

d'accord,
si a²+b²=k².(m²+n²) alors k divise a et k divise b

Bonjour,

Y a-t-il une condition sur m ou/et n ?

MJoe.

[babahamda]

bonjour,
j'explique encore ma question:
j'ai un entier c=k². c'
est-ce qu'il y a une équivalence entre ( c=a²+b² )et (c'=a'²+b'²)
le 2 ième sens est facile: c=k². c'=k²(a'²+b'²)=(ka')²+(kb')² donc a=ka' et b=kb'
il reste le premier sens si c=k². c'=a²+b² alors k divise a et k divise b

[Lostounet]

bonjour,
j'explique encore ma question:
j'ai un entier c=k². c'
est-ce qu'il y a une équivalence entre ( c=a²+b² )et (c'=a'²+b'²)
le 2 ième sens est facile: c=k². c'=k²(a'²+b'²)=(ka')²+(kb')² donc a=ka' et b=kb'
il reste le premier sens si c=k². c'=a²+b² alors k divise a et k divise b

Salut,

Ce n'est pas parce qu'on peut écrire que que k divise forcément à la fois a et b... Pour a = 4 et b = 3 , et k = 5 tu as a^2 + b^2 = 25. Comme déjà dit, tu peux prendre c = 50 = 25c' (k^2 = 25)
Ce qui fait que k^2 divise a^2 + b^2 sachant que k ne divise ni a ni b...

[babahamda]

5²*2=5²*(1²+1²)=(5*1)²+(5*1)²

[Lostounet]

Que ce soit bien clair: tu prends k=5, a=b=k^2 et c'=2

Et tu affirmes que k^2c' = a^2+b^2 ... Ça apporte quoi de conclure que k divise a et b sachant que a=b=k^2 ( un nombre divise toujours son carré...).

Tu essayes d'établir cela pour tous les entiers ! on t'a déjà donné un contre exemple qui ne marche pas. Ou bien on n'a pas compris la question ...

[babahamda]

bonjour,
merci pour votre aide.
si j'ai un nombre k².(m²+n²) qui a plusieurs somme des carrés, est-ce qu' on peut trouver parmi eux une somme a²+b² tel que k divise a et k divise b
par exemple
125=25*(1²+2²)=2²+11²=5²+10²
325=25*(2²+3²)=1²+18²=6²+17²=10²+15²

[MJoe]

Bonjour,

Merci pour ces précisions sur l'énoncé du problème. Je modifie ce que j'ai écrit précédemment :
Partons "de la fin" pour dégager une propriété sur a et b. On pose :
et (car on a : k divise a et k divise b).
On a : a² + b² = k²(m² + n²) d'où :


Si la somme m² + n² est un carré alors on peut trouver une racine entière, notons-là et :


On obtient ainsi toutes les valeurs de a et b possibles (après avoir déterminé toutes les valeurs de et de )

Bof....

MJoe.

[babahamda]

salut,
il y a une erreur:
alpha²+beta²=m²+n² et non pas alpha²+beta²+2alpha.beta=m²+n²

[MJoe]

Bonjour,

Exact, désolé. Je ne sais pas pourquoi j'ai vu un carré.

MJoe.

[aymanemaysae]

Bonjour ;

Tu trouveras la réponse à toutes tes questions (ici) : théorème des deux carrés de Fermat .

[babahamda]

Merci, pour votre aide.
est-ce qu'on peut écrire un algorithme pour tester qu'un nombre est la somme de deux carrés parfaits, il donne deux résultats :
- non
- oui avec tous les possibles