Ensembles infinis

[marcheur]

Bonjour ,

Question que je me pose par rapport aux ensembles infinis.

Est-ce vrai ou est-ce une impression : on a l'impression donc que tout ensemble infini dénombrable a autant d'éléments que n'importe quel autre ...

Par exemple sur le modèle de l'hôtel de Hilbert on pourrait poser cette question :

soit deux hôtels infinis (comportant une infinité de chambres) , dans le premier toutes les chambres contiennent une boite de 10 chocolats et dans le second une boite de 100 chocolats .

Quel est l'hôtel qui contient le plus de chocolat ?

Dans les deux cas il y a infinité de chocolats ...

[Ben314]

Est-ce vrai ou est-ce une impression : on a l'impression donc que tout ensemble infini dénombrable a autant d'éléments que n'importe quel autre ...

Rappels :
- Par définition on dit qu'un ensemble est dénombrable lorsqu'il est en bijection avec l'ensemble N des entiers naturels.
- Un certain nombre de personne pas très matheuses utilisent (hélas) le vocable "a le même nombre d'élément" que pour dire que et sont équipotents, c'est à dire (par définition) qu'il existe une bijection de sur (l'expression "a le même nombre d'élément" est évidement incorrecte dans le cas infini vu qu'il ne s'agit pas de "nombres")

Il en résulte que, quasiment (*) par définition, deux ensembles dénombrables sont équipotents.

(*) La seule propriété utilisé est le fait que la composition de deux bijections donne une bijection, mais c'est aussi celle dont on a besoin pour montrer que la relation d'équipotence est une relation d'équivalence sur un ensemble d'ensembles donnés.

[nodgim]

Dans IN, il y a autant de carrés parfaits que d'entiers ( A chaque entier on associe son carré et à chaque carré on associe sa racine). ça devient marrant quand on dit que dans IN, la densité des carrés est nulle. Et pourtant, il n'y a pas de paradoxe.

[marcheur]

Est-ce vrai ou est-ce une impression : on a l'impression donc que tout ensemble infini dénombrable a autant d'éléments que n'importe quel autre ...

Rappels :
- Par définition on dit qu'un ensemble est dénombrable lorsqu'il est en bijection avec l'ensemble N des entiers naturels.
- Un certain nombre de personne pas très matheuses utilisent (hélas) le vocable "a le même nombre d'élément" que pour dire que et sont équipotents, c'est à dire (par définition) qu'il existe une bijection de sur (l'expression "a le même nombre d'élément" est évidement incorrecte dans le cas infini vu qu'il ne s'agit pas de "nombres")

Il en résulte que, quasiment (*) par définition, deux ensembles dénombrables sont équipotents.

(*) La seule propriété utilisé est le fait que la composition de deux bijections donne une bijection, mais c'est aussi celle dont on a besoin pour montrer que la relation d'équipotence est une relation d'équivalence sur un ensemble d'ensembles donnés.

Est-ce que cela veut dire qu'on a autant de chocolats dans les deux hôtels ou bien qu'on ne doit même pas employer le terme "autant" (qu'il n'y en a ni autant ni plus dans un) ?

[Ben314]

Est-ce que cela veut dire qu'on a autant de chocolats dans les deux hôtels ou bien qu'on ne doit même pas employer le terme "autant" (qu'il n'y en a ni autant ni plus dans un) ?

Tu peut si tu veut utiliser le terme "autant", à condition bien sûr d'avoir préalablement défini ce qu'il signifiait dans le cas infini.

LE truc qu'il faut ABSOLUMENT comprendre, c'est que les mots qui ont un sens donné dans le cas fini, ben pour pouvoir les utiliser dans le cas infini, il faut leur donner une NOUVELLE définition (et évidement, il faut que ça corresponde a l'ancienne définition dans le ca fini).
Après, l'autre truc à bien comprendre, c'est qu'une fois qu'on a posé ces nouvelle définition, il n'y a aucune raison pour que les trucs qui étaient vrais dans le cas fini avec les définitions "de base" restent vrai dans le cas infini.

Sinon, concernant les chocolats, oui, il y a clairement le même nombre de chocolats dans chaque Hôtels et pour le voir "naïvement", il te suffit de dire que les chambres de l'hôtel avec 10 chocolat par chambres sont regroupées en différents "étages" de 10 chambres.
Il y a donc "l'étage 1" avec 10 chambres et 100 chocolats, "l'étage 2" avec 10 chambres et 100 chocolats, etc...
Et comme la numérotation des étages 1,2,3,... et la même que la numérotation des chambres dans l'autre Hôtel, on voit bien que les deux Hôtels ont "autant" de chocolats.

[marcheur]

Oui , mais donc on repousse toujours un regroupement plus loin . Car on pourrait encore poser la question : y a -il autant d'étages que de chambres ?
La réponse mathématique serait oui .

On peut résoudre le problème de manière philosophique ( c'est le domaine qui est le mien ) en disant que le fait qu'on arrive pas à adhérer à cette chose contre intuitive vient du fait qu'on se doute (si c'est réel : s'il y a par exemple une infinité d'unités comme les monades chez Liebniz) , on sent que ces unités ne peuvent pas être regroupées par "paquets" , que cela est arbitraire et ne correspond à aucune réalité dans la réalité infinie .
Où pour le dire d'une autre manière qu'il n'existe dans la réalité (infinie) aucun moyen , aucune notion ou concept permettant ce regroupement : ni ensemble , ni chambre , ni hôtel , ni boite , ni classe , etc ..
Que rien , aucun ensemble ne se répète (ou se multiplie) à l'infini dans la réalité .
C'est donc les notions abstraites d'ensemble , de classe , etc ... qui ne peuvent pas s'appliquer au réel en tant que tel , c'est à dire au-delà du fini .
Dés qu'on transpose l'infini mathématique dans la réalité il y a impossibilité .
Donc cette non adhérence serait selon moi bien plus un signe de vérité que d'erreur.

[Ben314]

A mon sens, le truc en question, il semble contre-intuitif lorsque l'on utilise un vocabulaire non adapté pour le décrire, c'est à dire des mots comme "autant" ou des locutions comme "a le même nombre d'élément que" qui ont déjà un sens, et surtout certaines propriétés dans la vie de tout les jour et il apparait comme "paradoxal" que ces propriétés ne soient plus vraies dans le cas infini.
Pour te donner une analogie, supposons qu'on découvre une nouvelle espèce d'animal avec 5 pattes et que (très bêtement), on décide d'utiliser un nom qui existe déjà pour désigner ce nouvel animal, par exemple celui de "chien".
On obtient alors le résultat "paradoxal" qu'il existe des chiens à 5 pattes.
Bien évidement, ça n'a absolument rien de paradoxal et ça veut uniquement dire que c'était pas malin de reprendre un nom qui était déjà utilisé.

Donc, ton paradoxe, si on l'exprime sans utiliser de termes existant déjà dans le cas fini, c'est :
Il existe une bijection entre l'ensemble et l'ensemble .
Est-ce que tu peut m'expliquer, sans utiliser (à mauvais escient) des termes comme "autant" où "à le même nombre d'élément que" à la place de "bijection", en quoi la phrase ci dessus a quelque chose de "paradoxale" ?

Une autre façon de dire la même chose, c'est que la notion de bijection, elle se voit dès le Lycée (théorème de la bijection) où on rencontre de nombreuses fonctions qui réalisent des bijections entre des ensembles différents, par exemple entre R tout entier et ]0,1[ et il me semble bien que personne (ni prof., ni élève) n'y voit un quelconque "paradoxe" vu que personne ne pense à remplacer le terme "bijection" par autre chose, et en particulier personne ne dit que ça signifie que ]0,1[ et R ont "le même nombre d'éléments".

[marcheur]

Donc s'il ne s'agit pas des mêmes notions serait-il possible de dire qu'il y a la fois bijection et plus grand infini d'un côté pourtant .

Prenons l'exemple le plus simple possible : un ensemble infini d'unités {1,1,1,1,1,1....} et les mêmes mis ensemble par deux {(1,1),(1,1),(1,1),...} .

Pourquoi ne pas dire : il y a bijection entre les unités et les couples et en même temps il y a le double (qu'on pourrait dénommer aussi une infinité de fois plus ) d'unités que de couples d'unités .

Je suppose qu'en math infini X 2 n'a pas de sens , où on aurait :
{(1,1),(1,1),(1,1),...} x 2 = {1,1,1,....}

Excusez-moi pour les signes qui ne sont peut-être pas les bons ...

[Ben314]

C'est tout à fait correct :
Si tu définit le "double" d'un ensemble A comme étant l'ensemble des couples (a,0) et (a,1) avec a dans A alors :
- Dans le cas où A est fini, le "double" de A aura deux fois plus d'éléments de A.
- Dans le cas infini, il y aura une bijection entre A et le "double" de A. (remarque bien que je n'écrit pas qu'il "y a autant d'éléments" dans A et dans son double vu que ça ne veut rien dire)

Et en ce qui me concerne, je ne trouve pas ça "paradoxal" vu que
1) Je ne m'autorise pas à dire que deux ensembles infinis ont (ou pas) le "même nombre d'éléments".
2) Si au lieu d'utiliser le terme "double" (qui existe déjà) pour nommer mon truc j'avais utilisé le terme "xzwjk", j'aurais obtenu que
- Dans le cas infini, il y aura une bijection entre A et le "xzwjk" de A.
Et je sais pas si qui que ce soit aurait trouvé ça "paradoxal"...

Ca donne quand même un peu l'impression qu'au fond, ce que tu trouve "paradoxal", c'est que l'infini, ça ne marche pas comme le fini. Personnellement, j'aurais tendance à trouver ça on ne peu plus normal et c'est plutôt le contraire (à savoir que ça marche "pareil" dans le cas infini que dans le cas fini) qui m'aurait fortement surpris.

Je crois l'avoir écrit déjà des tonnes de fois, mais l'infini, les matheux de tout temps s'en sont toujours méfié comme de la peste (voir par exemple les différent paradoxes de Zénon d'Élée chez les grecs) en considérant que de le manipuler ne pouvait mener qu'à des trucs profondément contradictoires.
Et puis il y a un petit siècle, il y a eu Cantor qui a jeté une pierre dans la mare en s'autorisant à manipuler l'infini (et qui a été conspué par une grande partie des matheux de l'époque pour ça). On s'est évidement rendu très rapidement compte (de nouveau...) que de s'autoriser un peu n'importe quoi avec des ensemble infinis comme le faisait (plus ou moins) Cantor, ça conduisait très rapidement à de belles contradictions (le paradoxe de Russel par exemple) mais on a (plus ou moins...) fini par enlever les contradictions à l'aide de "définitions" (en fait c'est plutôt des axiomes) qui permette d'éviter que "n'importe quoi" soit un ensemble (il y a donc en math des "collections" de truc qui... ne sont pas des ensembles...et il n'y a pas le choix).
Avec tout ça, on est à peu prés content et on peut aujourd'hui justifier parfaitement ce qu'on fait lorsque l'on manipule des ensembles infinis et au fond, ça a donné franchement raison à Cantor.
Sauf que, ce que ça a aussi provoqué, c'est que l'infini, on en parle maintenant, à l'école (ou sur le Net...) comme s'il s'agissait d'un concept "simple" qu'on peut manipuler sans soucis et qui est plus ou moins régi par les même "règles" que le fini.
On voit par exemple fréquemment des élève (voire des profs...) dire par exemple que 1/3=0.333... avec une infinité de 3 après la virgule comme si c'était quelque chose de "banal" qui ne demande aucune définition/explication nouvelle alors qu'il me semble bien évident que, vu qu'on ne risque pas d'écrire "pour de vrai" une infinité de 3, il faut forcément un nouveau "concept" pour donner un sens à une telle affirmation (par exemple, dans ce cas particulier, c'est le langage des limites en maths qui permet de donner un sens à "l'infini" : si on pose Un=0.333...3 avec n fois le chiffre 3 alors la suite Un tend vers 1/3, mais U_indice_l'infini n'existe pas et Un n'est jamais égal à 1/3).
Il y a un siècle, personne n'aurait osé dire qu'il y avait "une infinité" de 3 après la virgule (vu que tout le monde aurait été convaincu que ça ne voulait rien dire du tout...)

[marcheur]

D'accord , merci Ben314 .

Si tu m'avais dit que je disais un truc totalement faux , j'aurai ajouté que puisque tout couple d'unités est pris , "compté" comme une unité c'est à dire si (1,1) est un élément (et non deux) tout comme 1 est un élément alors il y a deux fois plus de 1 que de (1,1) dans l'ensemble infini {(1,1),(1,1),(1,1),...} .

Je suis d'accord on ne peut pas dire ça dans le même sens que pour le fini mais mettons le entre guillemets donc .

Remarquons donc que dans cet exemple sur wikipedia il y a donc une faute à dire "autant" sans plus d'explication :

https://fr.wikipedia.org/wiki/H%C3%B4tel_de_Hilbert

[beagle]

Merci Ben314 pour cette reformulation du autant, même nombre pour les éléments infinis.

Suis d'accord, donnons un autre nom ...
Maintenant bijection c'est pas évident non plus , car lorsque l'on parle de bijection,j'ai souvent l'occasion de vanner pour dire que c'est une notion de la maternelle, c'est une notion de base de l'apprentissage de la cardinalité.
Si d' un ensemble de 3 ou 7 ou ... éléments, je fais correspondance terme à terme avec autre ensemble, alors sans compter je sais que l'autre ensemble a également le même nombre, il a autant, il a 3 ou 7 ou ... éléments.Si mes 3 doigts peuvent se poser sur ces 3 objets, je n'ai pas à recompter ces 3 objets ...
Donc à mes yeux la bijection dans les ensembles infinis reste troublante quand même ...

[Robot]

@ beagle : je n'ai pas bien saisi le "Donc". Peux-tu expliquer, s'il te plait ?
Je comprends que tu n'as pas une infinité de doigts. Mais après tout, tu n'en a non plus pas plus de 10 (enfin, 20 avec les doigts de pieds, mais ce n'est pas très commode).

[beagle]

La correspondance terme à terme en maternelle:
je sais montrer 3 doigts, je sais faire en ordinal 1, 2, 3 voici 3 doigts.
Si ces trois doigts peuvent toucher tous les objets en face de moi, un seul par doigt, terme à terme,
et bien je dis il y a devant moi 3 stylos, ou 3 fleurs ou 3 trucs.

Et il y a des exos de maternelle où d'un bouquet de 7 fleurs je fais une flèche vers des personnages, une fleur et une seule chacun, j'ai compté sept fleurs, je sais que correspondance terme à terme, bref, le mome dira il ya sept personnes.

La bijection des ensembles finis est une étape très précoce de l'apprentissage de la cardinalité.

[Robot]

Oui, mais ce n'est pas là-dessus que portait ma question. C'est sur ton "Donc" dans "Donc à mes yeux la bijection dans les ensembles infinis reste troublante quand même ... "
Je ne vois pourquoi si "La bijection des ensembles finis est une étape très précoce de l'apprentissage de la cardinalité" alors la bijection dans les ensembles infinis devrait être troublante. Je ne vois pas l'implication. Peux-tu préciser ta pensée ?

[beagle]

OK, ben cela me trouble moi dans la mesure où mon apprentissage de la bijection a commencé le jour du autant de la cardinalité des ensembles finis.
Donc on ne va pas dire autant mais on va dire bijection ne m'aide pas tant que cela.

Le seul truc que je vois qui m'aiderait serait de voir que la bijection se "termine" , est "finie" dans les ensembles finis.
Alors que pour les ensembles infinis cela n'en finit pas bien sur, mais en fait l'infini permet de vivre à credit sans jamais rembourser, puisqu'il n' ya pas à finir de payer l'addition.

Mais perso je ne dis rien d'intéressant.Je dis mon trouble ...

[Robot]

Puisqu'il s'agit de nommer, tu disais "bijection" en maternelle ? Je ne pense pas.
Je ne sais pas si on en vient à autre chose que le "trouble" devant le fait qu'un ensemble infini peut être mis en bijection (et même de manière parfaitement explicite, comme dans l'hôtel de Hilbert) avec un sous-ensemble propre.

[beagle]

Puisqu'il s'agit de nommer, tu disais "bijection" en maternelle ? Je ne pense pas.
Je ne sais pas si on en vient à autre chose que le "trouble" devant le fait qu'un ensemble infini peut être mis en bijection (et même de manière parfaitement explicite, comme dans l'hôtel de Hilbert) avec un sous-ensemble propre.

Je crois que les concepts préexistent à leur nom.
je crois que l'apprentissage de la cardinalité, du autant ou du pas autant, grace à la correspondance terme à terme ou non,
tel qu'il est fait en maternel, donne un schéma mental de la bijection qui préexiste à son enseignement au lycée.
Et pour moi qui suis d'un niveau de maths on va dire niveau du collège,
lorsque je réponds à des interrogations sur injectivité , surjectivité sur le forum supérieur,
je le fais lorsque deux petites patates me permettent de répondre.

C'est d'ailleurs également ce que j'essayais de dire sur l'implication,le schéma mental qui permet de raisonner en implication, préexiste au symbole de la flèche.Supprimer l'usage de la flèche n'empèche pas l'existence de l'implication...

[Ben314]

@marcheur : effectivement, la première phrase de l'article de wiki est "...pour les ensembles finis, une partie stricte peut avoir autant d'éléments que le tout" sans préciser ce que signifie le terme "autant" dans le contexte des ensembles infini.

Dans le cadre de "vrais mathématiques", ce n'est évidement pas cohérent d'utiliser un terme dont on n'a pas donné de définition, mais, ce qu'il faut comprendre, c'est que ce "paradoxe", tel qu'il est présenté au début de l'article, c'est plutôt de la vulgarisation scientifique que vraiment des sciences, donc on fait ce qu'on fait assez systématiquement en vulgarisation : on simplifie et on passe sous silence (au début) un certain nombre de "problèmes techniques".
Là, l'article bien fait, vu que, plus loin, tu y trouve la "définition mathématique de la cardinalité" et ou il est bien écrit en toutes lettres que cette notion correspond a celle de "nombre d'éléments" dans le cas fini.

Sinon, je le redit de nouveau : c'est sans doute parce que je suis un (vieux) matheux donc habitué depuis très longtemps à ce "fait", mais je ne trouve pas ce résultat "paradoxal". A mon sens, si on cherche à définir ce qu'on va appeler un ensemble "infini", on peut évidement dire que c'est une ensemble "qui n'est pas fini", mais il me semble aussi relativement naturel de prendre comme définition que c'est un ensemble auquel, si on lui "rajoute" un élément, ça ne change pas sa "taille", c'est à dire un ensemble A qui peut être mis en bijection avec Au{b} où b est un élément n'appartenant pas à A.
En bref (et en simplifié) ça signifie que l'on prend comme définition de l'infini le fait que ce qui me semble assez naturel vu l'idée naïve qu'on peut se faire de l'infini (de même, pour reprendre ton exemple des chocolats, ça me perturbe pas vraiment que l'on ait, toujours de façon imagée, )

Remarque : On montre assez facilement que les deux "définitions" possibles coïncident, c'est à dire qu'un ensemble A ne peut être mis en bijection avec aucun ensemble de la forme {1,2,...,n} (n entier naturel éventuellement nul) si et seulement si il peut être mis en bijection avec Au{b} où b est un élément n'apparentent pas à A.

@beagle : a mon avis, le problème, c'est que lorsque l'on étend la définition de "avoir le même nombre d'éléments" aux ensembles infinis via la notion de bijection, il faut bien se dire qu'à priori, il n'y a pas de raison que les propriétés qui étaient vraies dans le cas fini perdurent.
Pour moi, c'est un peu la même chose que :
- Lorsque l'on "étend" la notion de nombre entier à celle de nombres rationnels, on y "perd" la propriété que toute partie non vide et minorée admet un plus petit élément.
- Lorsque l'on "étend" les rationnels aux réels, on "perd" la propriété que deux nombres quelconque sont commensurable i.e. que pour tout a et b il existe une mesure commune epsilon tels que a=n.epsilon et b=m.epsilon avec n,m entiers (et ça perturbait beaucoup les grecs...)
- Lorsque l'on "étend" les réels aux complexes, on y "perd" l'existence d'une relation d'ordre (compatible)
- Lorsque l'on "étend" les complexes aux quaternions, on y "perd" la commutativité.
Et on pourrait évidement donner des tonnes d'autres exemples (on "étend" la fonction ln aux complexes non réels négatifs => on "perd" la propriété ln(axb)=ln(a)+ln(b)...)
De façon générale, il est assez rare qu'en "étendant" quelque chose, tu y perde pas des trucs...

[beagle]

"
@beagle : a mon avis, le problème, c'est que lorsque l'on étend la définition de "avoir le même nombre d'éléments" aux ensembles infinis via la notion de bijection, il faut bien se dire qu'à priori, il n'y a pas de raison que les propriétés qui étaient vraies dans le cas fini perdurent.
Pour moi, c'est un peu la même chose que :
- Lorsque l'on étend la notion de nombre entier à celle de nombres rationnels, on y "perd" la propriété que toute partie non vide et minorée admet un plus petit élément.
- Lorsque l'on "étend" les rationnels aux réels, on "perd" la propriété que deux nombres quelconque sont commensurable i.e. que pour tout a et b il existe une mesure commune epsilon tels que a=n.epsilon et b=m.epsilon avec n,m entiers (et ça perturbait beaucoup les grecs...)
- Lorsque l'on "étend" les réels aux complexes, on y "perd" l'existence d'une relation d'ordre (compatible)
- Lorsque l'on "étend" les complexes aux quaternions, on y "perd" la commutativité.
Et on pourrait évidement donner des tonnes d'autres exemples (on "étend" la fonction ln aux complexes non réels négatifs => on "perd" la propriété ln(axb)=ln(a)+ln(b)...)"

Cela pourrait me convenir.
Mais cela oblige à changer ce qu'on appelle autant, comme on doit changer la vision de la bijection.
De toute façon faut changer quelque chose.
Il ya bien à changer, donc pourquoi pas de la façon dont tu le décrits.
Yes, why not.
Mes difficultés proviennent sans doute du fait que je suis politiquement un affreux réactionnaire...

[Robot]

Mais cela oblige à changer ce qu'on appelle autant, comme on doit changer la vision de la bijection.

Encore une fois, pourquoi faudrait-il changer la "vision de la bijection" ? Si tu tiens à dessiner des patates et des flèches, tu peux très bien le faire avec l'exemple de l'hôtel de Hilbert.